Résolution d'une équation du second degré de manière graphique
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Sommaire
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Résolution d'une équation du second degré de manière graphique
But
Résoudre une équation du second degré par une recherche graphique des solutions.
Introduction
Une équation du second degré a la forme générale suivante :
(1) a x2 + b x + c = 0 ou a, b et c ∈ ℝ et a ≠ 0.
Supposons que cette équation ait deux solutions x1 et x2 alors nous avons :
a (x - x1) (x - x2) = 0
dont le développement est :
a x2 - a (x1 + x2) x + a x1 x2 = 0
En faisant correspondre les termes avec l'équation initiale (1) (a étant non nul) :
x1 + x2 = - b / a x1 x2 = c / a
Pour simplifier la notation, écrivons :
(2) x1 + x2 = α (3) x1 x2 = β
avec
(4) α = - b / a (5) β = c / a
Représentation graphique d'une moyenne
Sur une droite, définissons un point P comme point de référence ainsi que deux points distincts S et T.
Alors, PS et PT désigneront la distance de point S et T par rapport au point de référence P.
La moyenne des distances PS et PT se situe alors à mi-distance des points S et T :
moyenne = (PS + PT) / 2
En effet, le point à mi-distance entre S et T s'exprime par :
distance entre S et T = PT - PS moitié de la distance entre S et T = (PT - PS) / 2 mi-distance par rapport au point P = PS + (PT - PS) / 2 = (PS + PT) / 2
Réécriture des équations reliant les solutions
Pour faire apparaître une moyenne dans les équations (2) et (3), posons :
(6) x1 = x1' / 2 (7) x2 = x2' / 2
Les équations (2) et (3) deviennent :
(8) (x1' + x2') / 2 = α (9) x1' x2' = 4 β
Par l'équation (8), nous voyons apparaître que α est situé à mi-distance des solutions x1' et x2'.
Il reste à trouver une représentation du produit des solutions x1' et x2'.
Représentation graphique d'un produit
A la page 10 de l'ouvrage indiqué en référence sur les invariants mathématiques, il s'avère qu'une sécante à un cercle qui passe par un point de référence P et qui coupe le cercle en deux points S et T a la propriété remarquable que le produit de la distance PS PT est invariant et est relié au carré de la distance du point P par rapport au centre O du cercle et au carré du rayon r de ce cercle de la manière suivante :
(10) PO2 - r2 = PS PT
En effet, si l'on représente la médiatrice passant par la moyenne des points S et T, elle passe par le centre du cercle O et nous avons un triangle rectangle formé par O, P et l'intersection de la sécante et la médiatrice (localisation de la moyenne de la distance entre S et T) :
PO2 - h2 = [ (PS + PT) / 2 ]2
où h est la distance du centre du cercle O à la sécante.
La médiatrice passant par la moyenne entre S et T par rapport au point P est, par définition, le lieu à égale distance entre les points S et T qui sont ici sur le cercle de rayon r.
Donc :
r2 - h2 = [ (PT - PS) / 2 ]2
La différence de ces deux équations donne :
PO2 - r2 = [ (PS + PT) / 2 ]2 - [ (PT - PS) / 2 ]2 = [ (PS + PT) / 2 - (PT - PS) / 2 ] [ (PS + PT) / 2 + (PT - PS) / 2 ] = PS PT
Cas particuliers de la propriété le la sécante
L'équation (10) implique que le produit PS PT a la même valeur, quelque soit la sécante qui passe par le point P et qui coupe le cercle de centre O et de rayon r.
Une confirmation rapide (ou une manière simple de s'en rappeler) est le cas particulier de la sécante qui passe par le centre O.
Dans ce cas :
PS = PO - r PT = PO + r
et l'on a bien
PS PT = (PO - r) (PO + r) = PO2 - r2
Représentation graphique de la racine carrée d'un produit
La propriété de la sécante implique aussi que pour s'il existe une sécante qui est tangente au cercle et pour laquelle S et T sont confondus, la distance au point P est une représentation de la racine carrée du produit PS PT !
Si P est hors du cercle, il y a deux tangentes et donc deux représentations du produit.
Si P est sur le cercle, il n'y a qu'une tangente qui représente alors un produit nul (car PS ou PT = 0 sur le cercle).
Si P est dans le cercle, il n'y a pas de tangente et donc pas de représentation du produit.
Procédé pour la résolution d'une équation du second degré à l'aide d'une représentation graphique
Le procédé pour la résolution de l'équation du second degré (1) se dégage des considérations précédentes :
- tracer une droite
- choisir un point P de référence comme origine (valeur du zéro)
- choisir une orientation des nombres positifs sur cette droite (habituellement vers la droite et vers le haut)
- placer le point Α à la distance α (4) du point de référence P qui sera la moyenne des solutions x1' et x2' de l'équation (8) sur la droite
- tracer la perpendiculaire au point Α qui représentera la médiatrice des solutions x1' et x2' de l'équation (8)
- placer un point O sur la perpendiculaire à une distance δ dela droite qui sera le centre d'un cercle
- la distance du point P au point O vaut alors : PO2 = δ2 + α2
- tracer un cercle de centre O dont le rayon est calculé selon la propriété de la sécante (10) et l'équation (9) (ce cercle coupera la droite aux points x1' et x2') :
- PO2 - r2 = x1' x2' = 4 β
- δ2 + α2 - r2 = 4 β
- (11) r2 = δ2 + α2 - 4 β
- l'intersection du cercle avec la droite donne les solutions x1' et x2' de l'équation de second degré (1) via les relations (6) et (7).
Discriminant Δ
Lors du calcul du rayon du cercle, nous voyons apparaître le discriminant Δ :
discriminant Δ = α2 - 4 β
Si le discriminant est positif ou nul, δ2 de l'équation (11) peut être nul ou non nul.
Dans le cas ou δ2 est choisi nul, le centre du cercle O se confond avec le point Α qui est placé sur la droite à la distance α du point P, moyenne des solutions x1' et x2'.
Si le discriminant est négatif, il est toujours possible de calculer un rayon r en choisissant δ2 ≥ - Δ.
Dans ce cas, le cercle ne peut pas couper la droite et il n'y a pas de solution à l'équation de second degré (1) car le rayon du cercle est toujours inférieur à δ, la distance à la droite.
Résultats
Conclusions
Ressources
La magie des invariants mathématiques - HS no 47 - Bibliothèque Tangente - Éditions POLE - Juillet 2013
