Résolution d'une équation du second degré de manière graphique
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Résolution d'une équation du second degré de manière graphique
But
Résoudre une équation du second degré par une recherche graphique des solutions.
Introduction
Une équation du second degré a la forme générale suivante :
a x2 + b x + c = 0 ou a, b et c ∈ ℝ et a ≠ 0.
Supposons que cette équation ait deux solutions x1 et x2 alors nous avons :
a (x - x1) (x - x2) = 0
dont le développement est :
a x2 - a (x1 + x2) x + a x1 x2 = 0
En faisant correspondre les termes avec l'équation initiale (a étant non nul) :
x1 + x2 = - b / a x1 x2 = c / a
pour simplifier la notation, écrivons :
(1) x1 + x2 = α (2) x1 x2 = β
avec
(3) α = - b / a (4) β = c / a
Représentation graphique d'une moyenne
Sur une droite, définissons un point P comme point de référence ainsi que deux points distincts S et T.
Alors, PS et PT désigneront la distance de point S et T par rapport au point de référence P.
La moyenne des distances PS et PT se situe alors à mi-distance des points S et T :
moyenne = (PS + PT) / 2
En effet, le point à mi-distance entre S et T s'exprime par :
distance entre S et T = PT - PS moitié de la distance entre S et T = (PT - PS) / 2 mi-distance par rapport au point P = PS + (PT - PS) / 2 = (PS + PT) / 2
Réécriture des équations reliant les solutions
Pour faire apparaître une moyenne dans les équations (1) et (2), posons :
x1 = x1' / 2 x2 = x2' / 2
Les équations (1) et (2) deviennent :
(5) (x1' + x2') / 2 = α (6) x1' x2' = 4 β
Par l'équation (5), nous voyons apparaître que α est situé à mi-distance des solutions x1' et x2'.
Il reste à trouver une représentation du produit des solutions x1' et x2'.
Représentation graphique d'un produit
A la page 10 de l'ouvrage indiqué en référence sur les invariants mathématiques, il s'avère qu'une sécante à un cercle qui passe par un point de référence P et qui coupe le cercle en deux points S et T a la propriété remarquable que le produit de la distance PS PT est invariant et est relié au carré de la distance du point P par rapport au centre O du cercle et au carré du rayon r de ce cercle de la manière suivante :
PO2 - r2 = PS PT
En effet, si l'on représente la médiatrice passant par la moyenne des points S et T, elle passe par le centre du cercle O et nous avons un triangle rectangle formé par O P et l'intersection de la sécante et la médiatrice (localisation de la moyenne de la distance entre S et T) :
PO2 - h2 = [ (PS + PT) / 2 ]2
où h est la distance du centre du cercle O à la sécante.
La médiatrice passant par la moyenne entre S et T par rapport au point P est, par définition, le lieu à égale distance entre les points S et T qui sont ici sur le cercle de rayon r.
Donc :
r2 - h2 = [ (PT - PS) / 2 ]2
La différence de ces deux équations donne :
PO2 - r2 = [ (PS + PT) / 2 ]2 - [ (PT - PS) / 2 ]2 = PS PT
Résultats
Conclusions
Ressources
La magie des invariants mathématiques - HS no 47 - Bibliothèque Tangente - Éditions POLE - Juillet 2013
