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Version du 17 août 2015 à 19:35

Résolution d'une équation du second degré de manière graphique

But

Résoudre une équation du second degré par une recherche graphique des solutions.

Introduction

Une équation du second degré a la forme générale suivante :

(1) a x2 + b x + c = 0  ou a, b et c ∈ ℝ et a ≠ 0.

Supposons que cette équation ait deux solutions x₁ et x₂ alors nous avons :

a (x - x1) (x - x2) = 0

dont le développement est :

a x2 - a (x1 + x2) x + a x1 x2 = 0

En faisant correspondre les termes avec l'équation initiale (1) (a étant non nul) :

x1 + x2 = - b / a
x1 x2 = c / a

Pour simplifier la notation, écrivons :

(2) x1 + x2 = α
(3) x1 x2 = β

avec

(4) α = - b / a
(5) β = c / a

Représentation graphique d'une moyenne

Sur une droite, définissons un point P comme point de référence ainsi que deux points distincts S et T.

Alors, PS et PT désigneront la distance de point S et T par rapport au point de référence P.

La moyenne des distances PS et PT se situe alors à mi-distance des points S et T :

moyenne = (PS + PT) / 2

En effet, le point à mi-distance entre S et T s'exprime par :

distance entre S et T = PT - PS
moitié de la distance entre S et T = (PT - PS) / 2
mi-distance par rapport au point P = PS + (PT - PS) / 2 = (PS + PT) / 2

Réécriture des équations reliant les solutions

Pour faire apparaître une moyenne dans les équations (2) et (3), posons :

(6) x1 = x1' / 2
(7) x2 = x2' / 2

Les équations (2) et (3) deviennent :

(8) (x1' + x2') / 2 = α
(9) x1' x2' = 4 β

Par l'équation (8), nous voyons apparaître que α est situé à mi-distance des solutions x₁^' et x₂^'.

Il reste à trouver une représentation du produit des solutions x₁^' et x₂^'.

Représentation graphique d'un produit

A la page 10 de l'ouvrage indiqué en référence sur les invariants mathématiques, il s'avère qu'une sécante à un cercle qui passe par un point de référence P et qui coupe le cercle en deux points S et T a la propriété remarquable que le produit de la distance PS PT est invariant et est relié au carré de la distance du point P par rapport au centre O du cercle et au carré du rayon r de ce cercle de la manière suivante :

(10) PO2 - r2 = PS PT

En effet, si l'on représente la médiatrice passant par la moyenne des points S et T, elle passe par le centre du cercle O et nous avons un triangle rectangle formé par O, P et l'intersection de la sécante et la médiatrice (localisation de la moyenne de la distance entre S et T) :

PO2 - h2 = [ (PS + PT) / 2 ]2

où h est la distance du centre du cercle O à la sécante.

La médiatrice passant par la moyenne entre S et T par rapport au point P est, par définition, le lieu à égale distance entre les points S et T qui sont ici sur le cercle de rayon r.

Donc :

r2 - h2 = [ (PT - PS) / 2 ]2

La différence de ces deux équations donne :

PO2 - r2 = [ (PS + PT) / 2 ]2 - [ (PT - PS) / 2 ]2 = [ (PS + PT) / 2 - (PT - PS) / 2 ] [ (PS + PT) / 2 + (PT - PS) / 2 ] = PS PT

Cas particuliers de la propriété de la sécante

L'équation (10) implique que le produit PS PT a la même valeur, quelque soit la sécante qui passe par le point P et qui coupe le cercle de centre O et de rayon r.

La sécante passe par le centre O du cercle

Une confirmation rapide (ou une manière simple de s'en rappeler) est le cas particulier de la sécante qui passe par le centre O.

Dans ce cas :

PS = PO - r
PT = PO + r

et l'on a bien

PS PT = (PO - r) (PO + r) = PO2 - r2

Le point de référence P de la sécante est sur le cercle

Si l'un des points, disons S, est sur le cercle alors :

PS = 0
PT = 2r
PS PT = 0
PO = r
PO2 - r2 = r2 - r2 = 0

Le point de référence P se confond avec le centre O

Si le point de référence P se confond avec le centre O du cercle alors :

PS = -r
PT = r
PS PT = -r2
PO = 0
PO2 - r2 = 0 - r2 = -r2

Représentation graphique de la racine carrée d'un produit par la sécante tangente au cercle

La propriété de la sécante implique aussi que s'il existe une sécante qui est tangente au cercle et pour laquelle S et T sont confondus, la distance au point P est une représentation de la racine carrée du produit PS PT !

Si P est hors du cercle, il y a deux tangentes et donc deux représentations du produit.

Si P est sur le cercle, il n'y a qu'une tangente qui représente alors un produit nul (car PS ou PT = 0 sur le cercle).

Si P est dans le cercle, il n'y a pas de tangente et donc pas de représentation du produit.

Procédé pour la résolution d'une équation du second degré à l'aide d'une représentation graphique

Le procédé pour la résolution de l'équation du second degré (1) se dégage des considérations précédentes :

• tracer une droite
• choisir un point P de référence comme origine (valeur du zéro)
• choisir une orientation des nombres positifs sur cette droite (habituellement vers la droite et vers le haut)
• placer le point Α à la distance α (4) du point de référence P qui sera la moyenne des solutions x₁^' et x₂^' de l'équation (8) sur la droite
• tracer la perpendiculaire au point Α qui représentera la médiatrice des solutions x₁^' et x₂^' de l'équation (8)
• placer un point O sur la perpendiculaire à une distance δ dela droite qui sera le centre d'un cercle
  • la distance du point P au point O vaut alors : PO² = δ² + α²
• tracer un cercle de centre O dont le rayon est calculé selon la propriété de la sécante (10) et l'équation (9) (ce cercle coupera la droite aux points x₁^' et x₂^') :
  • PO² - r² = x₁^' x₂^' = 4 β
  • δ² + α² - r² = 4 β
  • (11) r² = δ² + α² - 4 β
• l'intersection du cercle avec la droite donne les solutions x₁^' et x₂^' de l'équation de second degré (1) via les relations (6) et (7).

Discriminant Δ

Lors du calcul du rayon du cercle, nous voyons apparaître le discriminant Δ :

discriminant Δ = α2 - 4 β

Si le discriminant est positif ou nul, δ² de l'équation (11) peut être nul ou non nul.

Dans le cas ou δ² est choisi nul, le centre du cercle O se confond avec le point Α qui est placé sur la droite à la distance α du point P, moyenne des solutions x₁^' et x₂^'.

Dans ce cas où le discriminant est positif ou nul, il est relié au carré de la différence des solutions.

En effet, selon les équations (8) et (9) :

(12) [ (x1' + x2') / 2 ]2 - x1' x2' = [ (x1' - x2') / 2 ]2

et donc :

(12') [ (x1' - x2') / 2 ]2 = α2 - 4 β = Δ

Et, en fait, l'équation (12), qui est une réécriture de l'équation (10), se déduit immédiatement en prenant comme centre du cercle O le point Α de la moyenne des solutions mais cela est aussi vrai si le centre du cercle O est situé à une distance arbitraire δ et que le rayon satisfait l'équation (11).

Après réflexion, il s'avère que l'intérêt du cercle revient à imposer que les solutions soient distribuées symétriquement autour du point Α.

Si le discriminant est négatif, il est toujours possible de calculer un rayon r en choisissant δ² ≥ - Δ.

Dans ce cas, le cercle ne peut pas couper la droite et il n'y a pas de solution à l'équation de second degré (1) car le rayon du cercle est toujours inférieur à δ, la distance à la droite.

Résultats

Le résultat vraiment surprenant est que cette représentation graphique permet de représenter le cas Δ < 0.

Et, au final, il possible de représenter graphiquement les trois situations :

• celle où la droite coupe le cercle en deux points, donc deux solutions distinctes et Δ > 0
• celle où la droite est tangente au cercle et donc le touche en un point, donc deux solutions identiques et Δ = 0
• celle où la droite ne touche pas le cercle, donc aucune solution et Δ < 0

En jouant avec une droite et un cercle de rayon r, il est possible de représenter :

• toutes les situations où Δ = 0 en choisissant adéquatement le point P extérieur au cercle sur la droite et en effectuant une rotation de la droite pour qu'elle touche le cercle en un point unique (tangente au cercle)
• toutes les situations où 0 < Δ ≤ r² en choisissant adéquatement le point P extérieur au cercle sur la droite et en effectuant une rotation de la droite pour qu'elle touche le cercle en deux points pour satisfaire les équations (8) et (9)
  • La limite supérieure s'obtient quand la droite passe par le centre du cercle et dans ce cas Δ = [ (x₁^' - x₂^') / 2 ]² = [ 2 r / 2 ]² = r²
• toutes les situations où Δ < 0 en choisissant adéquatement le point P extérieur au cercle sur la droite et en effectuant une rotation de la droite pour qu'elle ne touche pas le cercle et de telle sorte que Δ = r² - δ avec δ la distance entre la droite et le cercle (équation (11)).

Conclusions

Ressources

La magie des invariants mathématiques - HS n^o 47 - Bibliothèque Tangente - Éditions POLE - Juillet 2013