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Version du 17 août 2015 à 10:52

Résolution d'une équation du second degré de manière graphique

But

Résoudre une équation du second degré par une recherche graphique des solutions.

Introduction

Une équation du second degré a la forme générale suivante :

(1) a x2 + b x + c = 0  ou a, b et c ∈ ℝ et a ≠ 0.

Supposons que cette équation ait deux solutions x₁ et x₂ alors nous avons :

a (x - x1) (x - x2) = 0

dont le développement est :

a x2 - a (x1 + x2) x + a x1 x2 = 0

En faisant correspondre les termes avec l'équation initiale (1) (a étant non nul) :

x1 + x2 = - b / a
x1 x2 = c / a

Pour simplifier la notation, écrivons :

(2) x1 + x2 = α
(3) x1 x2 = β

avec

(4) α = - b / a
(5) β = c / a

Représentation graphique d'une moyenne

Sur une droite, définissons un point P comme point de référence ainsi que deux points distincts S et T.

Alors, PS et PT désigneront la distance de point S et T par rapport au point de référence P.

La moyenne des distances PS et PT se situe alors à mi-distance des points S et T :

moyenne = (PS + PT) / 2

En effet, le point à mi-distance entre S et T s'exprime par :

distance entre S et T = PT - PS
moitié de la distance entre S et T = (PT - PS) / 2
mi-distance par rapport au point P = PS + (PT - PS) / 2 = (PS + PT) / 2

Réécriture des équations reliant les solutions

Pour faire apparaître une moyenne dans les équations (2) et (3), posons :

(6) x1 = x1' / 2
(7) x2 = x2' / 2

Les équations (2) et (3) deviennent :

(8) (x1' + x2') / 2 = α
(9) x1' x2' = 4 β

Par l'équation (8), nous voyons apparaître que α est situé à mi-distance des solutions x₁^' et x₂^'.

Il reste à trouver une représentation du produit des solutions x₁^' et x₂^'.

Représentation graphique d'un produit

A la page 10 de l'ouvrage indiqué en référence sur les invariants mathématiques, il s'avère qu'une sécante à un cercle qui passe par un point de référence P et qui coupe le cercle en deux points S et T a la propriété remarquable que le produit de la distance PS PT est invariant et est relié au carré de la distance du point P par rapport au centre O du cercle et au carré du rayon r de ce cercle de la manière suivante :

(10) PO2 - r2 = PS PT

En effet, si l'on représente la médiatrice passant par la moyenne des points S et T, elle passe par le centre du cercle O et nous avons un triangle rectangle formé par O, P et l'intersection de la sécante et la médiatrice (localisation de la moyenne de la distance entre S et T) :

PO2 - h2 = [ (PS + PT) / 2 ]2

où h est la distance du centre du cercle O à la sécante.

La médiatrice passant par la moyenne entre S et T par rapport au point P est, par définition, le lieu à égale distance entre les points S et T qui sont ici sur le cercle de rayon r.

Donc :

r2 - h2 = [ (PT - PS) / 2 ]2

La différence de ces deux équations donne :

PO2 - r2 = [ (PS + PT) / 2 ]2 - [ (PT - PS) / 2 ]2 = [ (PS + PT) / 2 - (PT - PS) / 2 ] [ (PS + PT) / 2 + (PT - PS) / 2 ] = PS PT

Cas particuliers de la propriété le la sécante

L'équation (10) implique que le produit PS PT a la même valeur, quelque soit la sécante qui passe par le point P et qui coupe le cercle de centre O et de rayon r.

Une confirmation rapide (ou une manière simple de s'en rappeler) est le cas particulier de la sécante qui passe par le centre O.

Dans ce cas :

PS = PO - r
PT = PO + r

et l'on a bien

PS PT = (PO - r) (PO + r) = PO2 - r2

Représentation graphique de la racine carrée d'un produit

La propriété de la sécante implique aussi que la sécante qui est tangente au cercle et pour laquelle S et T sont confondus, la distance au point P est une représentation de la racine carrée du produit PS PT !

Procédé pour la résolution d'une équation du second degré à l'aide d'une représentation graphique

Le procédé pour la résolution de l'équation du second degré (1) se dégage des considérations précédentes :

• tracer une droite
• choisir un point P de référence comme origine (valeur du zéro)
• choisir une orientation des nombres positifs sur cette droite (habituellement vers la droite et vers le haut)
• placer le point Α à la distance α (4) du point de référence P qui sera la moyenne des solutions x₁^' et x₂^' de l'équation (8) sur la droite
• tracer la perpendiculaire au point Α qui représentera la médiatrice des solutions x₁^' et x₂^' de l'équation (8)
• placer un point O sur la perpendiculaire à une distance δ dela droite qui sera le centre d'un cercle
  • la distance du point P au point O vaut alors : PO² = δ² + α²
• tracer un cercle de centre O dont le rayon est calculé selon la propriété de la sécante (10) et l'équation (9) (ce cercle coupera la droite aux points x₁^' et x₂^') :
  • PO² - r² = x₁^' x₂^' = 4 β
  • δ² + α² - r² = 4 β
  • (11) r² = δ² + α² - 4 β
• l'intersection du cercle avec la droite donne les solutions x₁^' et x₂^' (de l'équation de second degré (1) via les relations (6) et (7))

Discriminant Δ

Lors du calcul du rayon du cercle, nous voyons apparaître le discriminant Δ :

discriminant Δ = α2 - 4 β

Si le discriminant est positif ou nul, δ² de l'équation (11) peut être nul ou non nul.

Dans le cas ou δ² est choisi nul, le centre du cercle O se confond avec le point Α qui est placé sur la droite à la distance α du point P, moyenne des solutions x₁^' et x₂^'.

Si le discriminant est négatif, il est toujours possible de calculer un rayon r en choisissant δ² ≥ - Δ.

Dans ce cas, le cercle ne peut pas couper la droite et il n'y a pas de solution à l'équation de second degré (1) car le rayon du cercle est toujours inférieur à δ, la distance à la droite.

Résultats

Conclusions

Ressources

La magie des invariants mathématiques - HS n^o 47 - Bibliothèque Tangente - Éditions POLE - Juillet 2013