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Version du 17 août 2015 à 07:56

Sommaire 1 Résolution d'une équation du second degré de manière graphique 1.1 But 1.2 Introduction 1.2.1 Représentation graphique d'une moyenne 1.2.2 Réécriture des équations reliant les solutions 1.3 Résultats 1.4 Conclusions 1.5 Ressources

Résolution d'une équation du second degré de manière graphique

But

Résoudre une équation du second degré par une recherche graphique des solutions.

Introduction

Une équation du second degré a la forme générale suivante :

a x2 + b x + c = 0  ou a, b et c ∈ ℝ et a ≠ 0.

Supposons que cette équation ait deux solutions x₁ et x₂ alors nous avons :

a (x - x1) (x - x2) = 0

dont le développement est :

a x2 - a (x1 + x2) x + a x1 x2 = 0

En faisant correspondre les termes avec l'équation initiale (a étant non nul) :

x1 + x2 = - b / a
x1  x2 = c / a

pour simplifier la notation, écrivons :

(1) x1 + x2 = α
(2) x1  x2 = β

avec

(3) α = - b / a
(4) β = c / a

Représentation graphique d'une moyenne

Sur une droite, définissons un point P comme point de référence ainsi que deux points distincts S et T.

Alors, PS et PT désigneront la distance de point S et T par rapport au point de référence P.

La moyenne des distances PS et PT se situe alors à mi-distance des points S et T :

moyenne = (PS + PT) / 2

En effet, le point à mi-distance entre S et T s'exprime par :

distance entre S et T = PT - PS
moitié de la distance entre S et T = (PT - PS) / 2
mi-distance par rapport au point P = PS + (PT - PS) / 2 = (PS + PT) / 2

Réécriture des équations reliant les solutions

Pour faire apparaître une moyenne dans les équations (1) et (2), posons :

x1 = x1' / 2
x2 = x2' / 2

Les équations (1) et (2) deviennent :

(5) (x1' + x2') / 2 = α
(6) x1'  x2' = 4 β

Par l'équation (5), nous voyons apparaître que α est situé à mi-distance des solutions x₁^' et x₂^'.

Résultats

Conclusions

Ressources

La magie des invariants mathématiques - HS n^o 47 - Bibliothèque Tangente Éditions POLE - Juillet 2013