Résolution d'une équation du second degré de manière graphique

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pour simplifier la notation, écrivons :
pour simplifier la notation, écrivons :
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x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> = &alpha;
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(1) x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> = &alpha;
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x<sub>1</sub> x<sub>2</sub> = &beta;
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(2) x<sub>1</sub> x<sub>2</sub> = &beta;
avec
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x<sub>1</sub> = x<sup>'</sup><sub>1</sub> / 2
x<sub>1</sub> = x<sup>'</sup><sub>1</sub> / 2
x<sub>2</sub> = x<sup>'</sup><sub>2</sub> / 2
x<sub>2</sub> = x<sup>'</sup><sub>2</sub> / 2
 +
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Les équations (1) et (2) deviennet :
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(3) (x<sup>'</sup><sub>1</sub> + x<sup>'</sup><sub>2</sub>) / 2 = &alpha;
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(4) x<sup>'</sup><sub>1</sub> x<sup>'</sup><sub>2</sub> = 4 &beta;
== Résultats ==
== Résultats ==

Version du 17 août 2015 à 07:43

Sommaire

Résolution d'une équation du second degré de manière graphique

But

Résoudre une équation du second degré par une recherche graphique des solutions.

Introduction

Une équation du second degré a la forme générale suivante : 

a x2 + b x + c = 0  ou a et b ∈ ℝ et a ≠ 0.

Supposons que cette équation ait deux solutions x1 et x2 alors nous avons : 

a (x - x1) (x - x2) = 0

dont le développement est : 

a x2 - a (x1 + x2) x + a x1 x2 = 0

En faisant correspondre les termes avec l'équation initiale (a étant non nul) : 

x1 + x2 = - b / a
x1  x2 = c / a


pour simplifier la notation, écrivons : 

(1) x1 + x2 = α
(2) x1  x2 = β

avec 

α = - b / a
β = c / a

Représentation graphique d'une moyenne

Sur une droite, définissons un point P comme point de référence ainsi que deux points distincts S et T.

Alors, PS et PT désigneront la distance de point S et T par rapport au point de référence P.

La moyenne des distances PS et PT se situe alors à mi-distance des points S et T : 

moyenne = (PS + PT) / 2

En effet, le point à mi-distance entre S et T s'exprime par : 

distance entre S et T = PT - PS
moitié de la distance entre S et T = (PT - PS) / 2
mi-distance par rapport au point P = PS + (PT - PS) / 2 = (PS + PT) / 2

Réécriture des équations reliant les solutions

Pour faire apparaître une moyenne dans les équations (1) et (2), posons : 

x1 = x'1 / 2
x2 = x'2 / 2

Les équations (1) et (2) deviennet : 

(3) (x'1 + x'2) / 2 = α
(4) x'1  x'2 = 4 β

Résultats

Conclusions

Ressources

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