Graphes et premier nombre de Ramsey

Un article de Wikipedia.

Sommaire

Graphes et premier nombre de Ramsey

But

Déterminer les graphes équivalents ayant au plus 6 sommets et utiliser ces graphes pour vérifier le premier nombre de Ramsey r(3,3).

Introduction

Un graphe est constitué d'un nombre n de sommets parfois reliés entre eux par des arrêtes.

Deux graphes sont considérés ici comme équivalents si :

  • une permutation des sommets d'un graphe équivaut à l'autre
  • pour un graphe chaque arrête est éliminée et chaque absence d'arrête est remplacée par une arrête et qu'il existe une permutation des sommets du graphe qui équivaut à l'autre

Nombre de Ramsey

Le nombre de Ramsey r(n,k) est le nombre minimum de sommets nécessaires pour qu'un graphe contenant un nombre arbitraire d'arrêtes comporte soit n sommets tous reliés entre eux soit k sommets tous non reliés entre eux.

Une autre formulation est le nombre r(n,k) de personnes qu'il faut inviter pour que n personnes se connaissent toutes entre elles ou que k personnes ne se connaissent pas entre elles.

Résultats

Pour déterminer l'équivalence d'un graphe de n sommets, il faut disposer de la liste complète des permutations pour n éléments donnés.

L'algorithme utilisé est celui décrit dans les ressources.

Il consiste à partir de toutes les permutations de n = 2,

1 2
2 1

de déterminer toutes les permutations pour n = 3 en triplant chaque ligne du cas n = 2

1 2
1 2
1 2
2 1
2 1
2 1

et en insérant le chiffre 3 dans chaque ligne en commençant par la dernière position jusqu'à la première et une fois la première position atteinte, recommencer depuis la première jusqu'à la dernière :

1 2 3
1 3 2
3 1 2
3 2 1
2 3 1
2 1 3

Pour n = 4 il faut quadrupler chaque ligne du cas n = 3 et insérer le chiffre 4 de la même manière que précédemment :

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3 2
1 3 2
1 3 2
1 3 2
3 1 2
3 1 2
3 1 2
3 1 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
2 3 1
2 3 1
2 3 1
2 3 1
2 1 3
2 1 3
2 1 3
2 1 3

en insérant le chiffre 4 :

1 2 3 4
1 2 4 3
1 4 2 3
4 1 2 3
4 1 3 2
1 4 3 2
1 3 4 2
1 3 2 4
3 1 2 4
3 1 4 2
3 4 1 2
4 3 1 2
4 3 2 1
3 4 2 1
3 2 4 1
3 2 1 4
2 3 1 4
2 3 4 1
2 4 3 1
4 2 3 1
4 2 1 3
2 4 1 3
2 1 4 3
2 1 3 4

Conclusions

Ressources