Fraction générant son développement numérique

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Sommaire

Fraction générant son développement numérique

But

Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... répétant le nombre n=a1a2...ak-1ak où ai pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.

Introduction

Notation

Pour simplifier l'écriture, la fraction f = 0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... pourra aussi être notée : f = [a1...ak] avec ai pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.

Construction de f

La construction de f est simple, si n = a1a2...ak-1ak alors f = n * 0.00..0100..01... = n * 0.0102...0k-11k0102...0k-11k... = n*[01...0k-11k] = n * [0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.

Ou f = n * (1/10k+1/102*k+...) = n * (x+x2+x3+...) pour x = 1/10k.

Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x2+x3+... si |x|<1.

Alors x+x2+x3+... = 1/(1-x)-1 = x/(1-x).

Appliqué au f précédent :

avec x = 1/10k f = n * x/(1-x) = n * 1/(1/x-1) = n / (10k-1).

Donc f = n / (10k-1).


Et, pour être plus explicite, 10k-1 = 999..99k soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f = [a1...ak] :

f = n / (10k-1) = n / 9192..9k

Résultats

Ainsi, ave le résultat précédemment acquis :

f = 1/3 = 0.3333... = [3] = 3/9

f = 1/7 = [142857] = 142857/999999

f = 0.201320132013... = [2013] = 2013/9999

Quelques conséquences

  • si f = 1/p = [a1...ak] avec p un nombre premier alors p divise 9192..9k.
    • En effet si 1/p = [a1...ak] alors 1/p = n/9192..9k et donc 9192..9k/p = n (avec n = a1...ak).

Conclusions

Ressources

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