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Version du 13 juillet 2013 à 07:00

Sommaire 1 Fraction générant son développement numérique 1.1 But 1.2 Introduction 1.2.1 Notation 1.2.2 Construction de f 1.3 Résultats 1.3.1 Quelques conséquences 1.4 Conclusions 1.5 Ressources

Fraction générant son développement numérique

But

Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a₁a₂...a_k-1a_ka₁a₂...a_k-1a_k... répétant le nombre n=a₁a₂...a_k-1a_k où a_i pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.

Introduction

Notation

Pour simplifier l'écriture, la fraction f = 0.a₁a₂...a_k-1a_ka₁a₂...a_k-1a_k... pourra aussi être notée : f = [a₁...a_k] avec a_i pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.

Construction de f

La construction de f est simple, si n = a₁a₂...a_k-1a_k alors f = n * 0.00..0100..01... = n * 0.0₁0₂...0_k-11_k0₁0₂...0_k-11_k... = n*[0₁...0_k-11_k] = n * [0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.

Ou f = n * (1/10^k+1/10^2*k+...) = n * (x+x²+x³+...) pour x = 1/10^k.

Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x²+x³+... si |x|<1.

Alors x+x²+x³+... = 1/(1-x)-1 = x/(1-x).

Appliqué au f précédent :

avec x = 1/10^k f = n * x/(1-x) = n * 1/(1/x-1) = n / (10^k-1).

Donc f = n / (10^k-1).

Et, pour être plus explicite, 10^k-1 = 999..99_k soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f = [a₁...a_k] :

f = n / (10^k-1) = n / 9₁9₂..9_k

Résultats

Ainsi, ave le résultat précédemment acquis :

f = 1/3 = 0.3333... = [3] = 3/9

f = 1/7 = [142857] = 142857/999999

f = 0.201320132013... = [2013] = 2013/9999

Quelques conséquences

• Il est facile de diviser par les nombres du type 99..9 puisque la fraction résultante est connue :
  • 4/9 = 0.44444... = [4]
  • 7/9 = 0.77777... = [7]
  • 43/99 = 0.43434343... = [43]
  • 463746178/999999999 = 0.463746178463746178463746178...
  • ...

• si f = 1/p = [a₁...a_k] avec p un nombre entier, alors p divise 9₁9₂..9_k.
  • En effet si 1/p = [a₁...a_k] alors 1/p = n/9₁9₂..9_k et donc 9₁9₂..9_k/p = n (avec n = a₁...a_k).
  • En particulier :
    • 7 divise 999999 puisque 1/7 = [142857]

Conclusions

Ressources

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