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Version du 13 juillet 2013 à 06:54

Fraction générant son développement numérique

But

Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a₁a₂...a_k-1a_ka₁a₂...a_k-1a_k... répétant le nombre n=a₁a₂...a_k-1a_k où a_i pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.

Introduction

Notation

Pour simplifier l'écriture, la fraction f = 0.a₁a₂...a_k-1a_ka₁a₂...a_k-1a_k... pourra aussi être notée : f = [a₁...a_k] avec a_i pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.

Construction de f

La construction de f est simple, si n = a₁a₂...a_k-1a_k alors f = n * 0.00..0100..01... = n * 0.0₁0₂...0_k-11_k0₁0₂...0_k-11_k... = n*[0₁...0_k-11_k] = n * [0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.

Ou f = n * (1/10^k+1/10^2*k+...) = n * (x+x²+x³+...) pour x = 1/10^k.

Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x²+x³+... si |x|<1.

Alors x+x²+x³+... = 1/(1-x)-1 = x/(1-x).

Appliqué au f précédent :

avec x = 1/10^k f = n * x/(1-x) = n * 1/(1/x-1) = n / (10^k-1).

Donc f = n / (10^k-1).

Et, pour être plus explicite, 10^k-1 = 999..99_k soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f = [a₁...a_k] :

f = n / (10^k-1) = n / 9₁9₂..9_k

Résultats

Ainsi, ave le résultat précédemment acquis :

f = 1/3 = 0.3333... = [3] = 3/9

f = 1/7 = [142857] = 142857/999999

f = 0.201320132013... = [2013] = 2013/9999

Quelques conséquences

• si f = 1/p = [a₁...a_k] avec p un nombre entier, alors p divise 9₁9₂..9_k.
  • En effet si 1/p = [a₁...a_k] alors 1/p = n/9₁9₂..9_k et donc 9₁9₂..9_k/p = n (avec n = a₁...a_k).
  • En particulier :
    • 7 divise 999999 puisque 1/7 = [142857]

Conclusions

Ressources

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