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Version du 13 juillet 2013 à 06:36

Fraction générant son développement numérique

But

Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a₁a₂...a_k-1a_ka₁a₂...a_k-1a_k... répétant le nombre n=a₁a₂...a_k-1a_k où a_i pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.

Introduction

Notation

Pour simplifier l'écriture, la fraction f=0.a₁a₂...a_k-1a_ka₁a₂...a_k-1a_k... sera notée : f=[a₁...a_k] avec a_i pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.

Construction de f

La construction de f est simple, si n = a₁a₂...a_k-1a_k alors f = n*0.00..0100..01...=n*0.0₁0₂...0_k-11_k0₁0₂...0_k-11_k... = n*[0₁...0_k-11_k]=n*[0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.

Ou f = n*(1/10^k+1/10^2*k+...) = n*(x+x²+x³+...) pour x = 1/10^k.

Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x²+x³+... si |x|<1.

Alors x+x²+x³+... = 1/(1-x)-1 = x/(1-x).

Appliqué au f précédent :

avec x = 1/10^k f = n*x/(1-x) = n*1/(1/x-1) = n/(10^k-1).

Donc f = n/(10^k-1).

Et, pour être plus explicite, 10^k-1 = 999..99_k soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f=[a₁...a_k] :

f = n/(10^k-1) = n/9₁9₂..9_k

Résultats

Conclusions

Ressources

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