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Formule générale pour calculer la somme des nombres entiers à la puissance m

But

Déterminer la formule générale donnant la somme des nombres entiers à la puissance m, S(m) = Σ_k=1^k=n k^m.

Introduction

Un exercice fréquent en mathématique est de démontrer une formule donnée par récurrence.

Or, la question qui se pose toujours est : finalement comment ces formules s'obtiennent ?

Cet exercice de démonstration par récurrence sur la formule de la somme des nombres entiers au carré (ou au cube, je ne m'en rappelle plus) m'avait irrité par son côté apparition de la formule sans possibilité de la déterminer soit même.

Poutant, la technique est simple pour les sommes d'entiers à une certaine puissance entière.

Notation

Soit S(m) = Σ_k=1^k=n k^m la somme des nombres entiers à la puissance m, de 1 à n (n ≥ 1).

L'idée de base est simple, elle consiste à exprimer la somme sur k de 1 à n sous la forme d'une autre somme de (k + 1) pour k de 1 à n et de déterminer la relation entre elles.

Soit pour le cas m = 1 :

(n + 1) + Σk=1k=n k = Σk=1k=n (k + 1) + 1.

Ainsi, en éliminant les sommes Σ_k=1^k=n k, nous obtenons :

Σk=1k=n 1 = n

soit la somme sur 1 ou du cas m = 0 :

S(0) = n.

Ainsi, cette idée permet pour une somme sur les entiers de puissance 1 de déterminer la somme sur les entiers de puissance 0.

Plus généralement, la somme des entiers de puissance m permet de déterminer la somme des entiers de puissance m - 1 :

(n + 1)m + Σk=1k=n km = Σk=1k=n (k + 1)m + 1.

Avec S(m) = Σ_k=1^k=n k^m :

(n + 1)m + S(m) = Σr=0r=m (rm) * S(r) + 1

où (rm) = m ! / ( r ! * (m - r) ! ) est la combinaison de r éléments sur m.

En développant un peu :

(n + 1)^m -1 = Σ_r=0^{r=m - 2} (_r^m) * S(r) + (_{m - 1}^m) * S(m - 1) + (_m^m) * S(m) - S(m)

et comme (_m^m) = 1 et (_{m - 1}^m) = m :

(n + 1)^m -1 = Σ_r=0^{r=m - 2} (_r^m) * S(r) + m * S(m - 1)

soit

S(m - 1) =  [ (n + 1)m - 1  - Σr=0r=m - 2 (rm) * S(r) ] / m

comme annoncé, nous obtenons la somme des entiers à la puissance m - 1 en fonction des sommes des puissances de degrés inférieurs à m - 1, pour m ≥ 2.

En résumé

S(0) = n
S(m - 1) =  [ (n + 1)m - 1  - Σr=0r=m - 2 (rm) * S(r) ] / m    m ≥ 2
avec (rm) = m ! / ( r ! * (m - r) ! ) la combinaison de r éléments sur m.

Résultats

Pour m = 1, cela correspond au cas sans somme Σ :

S(1 - 1) = S(0) = [ (n + 1)¹ -1 ] / 1 = n

comme attendu : S(0) = n.

Pour m = 2 :

S(2 - 1) = S(1) = [ (n + 1)² - 1 - Σ_r=0^r=2-2=0 (_r²) * S(r) ] / 2

et avec (₀²) = 1

S(1) = [ (n + 1)² - 1 - S(0) ] / 2 = [ (n + 1)² - 1 - n ] / 2 = [ (n + 1)² - (n + 1) ] / 2 = (n + 1) [ (n + 1) - 1 ] / 2 = (n + 1) n / 2

comme attendu : S(1) = n (n + 1) / 2.

Le cas m = 3 :

S(3 - 1) = S(2) = [ (n + 1)³ - 1 - Σ_r=0^{r=3 - 2=1} (_r³) * S(r) ] / 3

et avec (₀³) = 1 et (₁³) = 3

S(2) = [ (n + 1)³ - 1 - S(0) - 3 * S(1) ] / 3

et avec les calculs précédents de S(0) et S(1)

S(2) = [ (n + 1)³ - 1 - n - 3 * n * (n + 1)/2 ] / 3 = (n + 1) / 3 * [ (n + 1)² - 1 - 3 * n / 2 ] = (n + 1) / 3 * [ n² + 2 * n + 1 - 1 - 3 * n / 2 ]

S(2) = (n + 1) / 6 * [ 2 * n² + n ] = n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6

comme attendu : S(2) = n (n + 1) (2 n + 1) / 6.

En poursuivant un peu :

Conclusions

En dehors du résultat de l'expression de la somme des entiers selon la puissance en fonction de n (voir tableau), l'expression reliant les sommes entre-elles indique que, pour n donné, toutes les sommes des autres puissances peuvent se déterminer de manière récurrente !

Donnez-moi un point d'appui et je vous souleverai la Terre ! ... Oui Archimède

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