Formule générale pour calculer la somme des nombres entiers à la puissance m
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(n + 1)<sup>m</sup> + S(m) = Σ<sub>l=0</sub><sup>l=m</sup> (<sub>l</sub><sup>m</sup>) * S(l) + 1 où (<sub>l</sub><sup>m</sup>) = m ! / ( m! * (m - l) ! ) est la combinaison de l éléments sur m. | (n + 1)<sup>m</sup> + S(m) = Σ<sub>l=0</sub><sup>l=m</sup> (<sub>l</sub><sup>m</sup>) * S(l) + 1 où (<sub>l</sub><sup>m</sup>) = m ! / ( m! * (m - l) ! ) est la combinaison de l éléments sur m. | ||
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| + | comme annoncé, nous obtenons la somme de puissance m - 1 en fonctione des sommes de degrés inférieurs à m - 1, pour m ≥ 1. | ||
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Version du 13 juillet 2013 à 10:33
Sommaire |
Formule générale pour calculer la somme des nombres entiers à la puissance m
But
Déterminer la formule générale donnant la somme des nombres entiers à la puissance m, S(m) = Σk=1k=n km.
Introduction
Un exercice fréquent en mathématique est de démontrer une formule donnée par récurrence.
Or, la question qui se pose toujours est : finalement comment ces formules s'obtiennent ?
Cet exercice de démonstration par récurrence sur la formule de la somme des nombres entiers au carré (ou au cube, je ne m'en rappelle plus) m'avait irritée par son côté 'apparition' de la formule sans possibilité de la déterminer soit même.
Or finalement, la technique est simple pour les sommes d'entiers à une certaine puissance entière.
Notation
Soit S(m) = Σk=1k=n km la somme des nombres entiers à la puissance m, de 1 à n (n ≥ 1).
L'idée de base est simple, elle consiste à exprimer la somme sur k de 1 à n sous la forme d'une autre somme de (k + 1) pour k de 1 à n et de déterminer la relation entre elles.
Soit pour le cas m = 1 :
(n + 1) + Σk=1k=n k = Σk=1k=n (k + 1) + 1.
Ainsi, en éliminant les sommes Σk=1k=n k, nous obtenons :
Σk=1k=n 1 = n
soit la somme sur 1 ou du cas m = 0 : S(0) = n.
Ainsi, cette idée permet pour une somme sur les entiers de puissance 1 de déterminer la somme sur les entiers de puissance 0.
Plus généralement, la somme des entiers de puissance m permet de déterminer la somme des entiers de puissance m - 1 :
(n + 1)m + Σk=1k=n km = Σk=1k=n (k + 1)m + 1.
Avec S(m) = Σk=1k=n km
(n + 1)m + S(m) = Σl=0l=m (lm) * S(l) + 1 où (lm) = m ! / ( m! * (m - l) ! ) est la combinaison de l éléments sur m.
En développant un peu :
(n + 1)m -1 = Σl=0l=m - 2 (lm) * S(l) + (m - 1m) * S(m - 1) + (mm) * S(m) - S(m)
et comme (mm) = 1 et (m - 1m) = m :
(n + 1)m -1 = Σl=0l=m - 2 (lm) * S(l) + m * S(m - 1)
soit
S(m - 1) = [ (n + 1)m -1 = Σl=0l=m - 2 (lm) * S(l) ] / m
comme annoncé, nous obtenons la somme de puissance m - 1 en fonctione des sommes de degrés inférieurs à m - 1, pour m ≥ 1.
