Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers à la puissance k
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Version du 13 juillet 2013 à 17:31
Sommaire |
Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers
But
Déterminer la fonction génératrice de la somme de n entiers.
Introduction
Une fonction génératrice est une fonction d'une variable f(x) dont les coefficients du développement en xk correspond à celui d'une série ak (pour k ≥ 0) donnée.
Il y a 2 sortes de fonctions génératrices :
- l'une écrite sous la forme d'un développement en série de puissances ordinaire
- f(x) = ∑k≥0 ak * xk
- les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0
- ak = 1 / k ! * dk / d x k f(x) | x = 0
- l'autre écrite sous la forme d'un développement en série de puissances pour des fonctions génératrices exponentielles
- f(x) = ∑k≥0 ak * xk / k !
- les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0
- ak = dk / d x k f(x) | x = 0
Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter.
Notation
f (x) = {ak} désigne une fonction génératrice de puissances ordinaire
f (x) = {ak}e désigne une fonction génératrice exponnentielle
Des exemples permettent de mieux saisir ces différentes fonctions génératrices
f (x) = {1k} = 1 + x + x2 + x3 + ... + xk + ... = 1 / (1 - x)
f (x) = {1k}e = 1 + x / 1 ! + x2 / 2 ! + x3 / 3 ! + ... + xk / n ! + ... = ex (d'où le caractère exponenteille)
Propriétés remarquables
| propriété | fonction génératrice ordinaire | fonction génératrice exponentielle |
| f | { ak } | { ak }e |
| g | { bk } | { bk }e |
| f + g | { ak + bk } | { ak + bk }e |
| x * f ' = x * d f / dx | { k * ak } | { k * ak }e |
| f * g | {∑r = 0r = k ar * bk-r} | { ∑r = 0r = k (rk) * ar * bk-r } ou (rk) = k ! / ( r ! * (k - r ) ! ) |
Fort de ces propriétés remarquables et de la relation récursive des sommes des entiers à la puissance k de l'article Formule générale pour calculer la somme des nombres entiers à la puissance m, il est possible de déterminer la fonction génératrice recherchée.
Comme la formule récursive inclu des combinaisons, il est donc évident qu'il faut utiliser la forme exponentielle pour la fonction génératrice.
