Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers à la puissance k
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| f + g || {a<sub>k</sub> + b<sub>k</sub>} || {a<sub>k</sub> + b<sub>k</sub>}<sub>e</sub> | | f + g || {a<sub>k</sub> + b<sub>k</sub>} || {a<sub>k</sub> + b<sub>k</sub>}<sub>e</sub> | ||
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| - | | x * d f / dx || {k * a<sub>k</sub>} || {k * a<sub>k</sub>}<sub>e</sub> | + | | x * f ' = x * d f / dx || {k * a<sub>k</sub>} || {k * a<sub>k</sub>}<sub>e</sub> |
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| f * g || {∑<sub>r = 0</sub><sup>r = k</sup> a<sub>r</sub> * b<sub>k-r</sub>} || {∑<sub>r = 0</sub><sup>r = k</sup> (<sub>r</sub><sup>k</sup>) * a<sub>r</sub> * b<sub>k-r</sub>} ou (<sub>r</sub><sup>k</sup>) = k ! / ( r ! * (k - r ) ! ) | | f * g || {∑<sub>r = 0</sub><sup>r = k</sup> a<sub>r</sub> * b<sub>k-r</sub>} || {∑<sub>r = 0</sub><sup>r = k</sup> (<sub>r</sub><sup>k</sup>) * a<sub>r</sub> * b<sub>k-r</sub>} ou (<sub>r</sub><sup>k</sup>) = k ! / ( r ! * (k - r ) ! ) | ||
Version du 13 juillet 2013 à 17:25
Sommaire |
Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers
But
Déterminer la fonction génératrice de la somme de n entiers.
Introduction
Une fonction génératrice est une fonction d'une variable f(x) dont les coefficients du développement en xk correspond à celui d'une série ak (pour k ≥ 0) donnée.
Il y a 2 sortes de fonctions génératrices :
- l'une écrite sous la forme d'un développement en série de puissances ordinaire
- f(x) = ∑k≥0 ak * xk
- les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0
- ak = 1 / k ! * dk / d x k f(x) | x = 0
- l'autre écrite sous la forme d'un développement en série de puissances pour des fonctions génératrices exponentielles
- f(x) = ∑k≥0 ak * xk / k !
- les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0
- ak = dk / d x k f(x) | x = 0
Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter.
Notation
f (x) = {ak} désigne une fonction génératrice de puissances ordinaire
f (x) = {ak}e désigne une fonction génératrice exponnentielle
Des exemples permettent de mieux saisir ces différentes fonctions génératrices
f (x) = {1k} = 1 + x + x2 + x3 + ... + xk + ... = 1 / (1 - x)
f (x) = {1k}e = 1 + x / 1 ! + x2 / 2 ! + x3 / 3 ! + ... + xk / n ! + ... = ex (d'où le caractère exponenteille)
Propriétés remarquables
Avec f(x) =
| propriété | fonction génératrice ordinaire | fonction génératrice exponentielle | |
| f | {ak} | f | {ak}e |
| g | {bk} | {bk}e | |
| f + g | {ak + bk} | {ak + bk}e | |
| x * f ' = x * d f / dx | {k * ak} | {k * ak}e | |
| f * g | {∑r = 0r = k ar * bk-r} | {∑r = 0r = k (rk) * ar * bk-r} ou (rk) = k ! / ( r ! * (k - r ) ! ) |
Fort de la relation récursive des sommes des entiers à la puissance k, il est possible de déterminer la fonction génératrice recherchée.
