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Version du 13 juillet 2013 à 17:03

Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers

But

Déterminer la fonction génératrice de la somme de n entiers.

Introduction

Une fonction génératrice est une fonction d'une variable f(x) dont les coefficients du développement en x^k correspond à celui d'une série a_k (pour 0 ≤ k) donnée.

Il y a 2 sortes de fonctions génératrices :

• l'une écrite sous la forme d'un développement en série de puissances ordinaire
  • f(x) = ∑_k≥0 a_k * x^k
  • les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0
    • a_k = 1 / k ! * d^k / d x ^k f(x) | _{x = 0}
• l'autre écrite sous la forme d'un développement en série de puissances pour des fonctions génératrices exponentielles
  • f(x) = ∑_k≥0 a_k * x^k / k !
  • les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0
    • a_k = d^k / d x ^k f(x) | _{x = 0}

Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter.

Notation

f (x) = {a_k} désigne une fonction génératrice de puissances ordinaire

f (x) = {a_k}_e désigne une fonction génératrice exponnentielle

Des exemples permettent de mieux saisir ces différentes fonctions génératrices

f (x) = {1_k} = 1 + x + x² + x³ + ... + x^k + ... = 1 / (1 - x)

f (x) = {1_k}_e = 1 + x / 1 ! + x² / 2 ! + x³ / 3 ! + ... + x^k / n ! + ... = e^x (d'où le caractère exponenteille)

Fort de la relation récursive des sommes des entiers à la puissance k, il est possible de déterminer la fonction génératrice recherchée.

Résultats

Conclusions

Ressources