Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers à la puissance k
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| - | ** f(x) = ∑<sub>k | + | ** f(x) = ∑<sub>k≥0</sub> a<sub>k</sub> * x<sup>k</sup> |
** les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0 | ** les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0 | ||
| - | *** a<sub>k</sub> = 1 / k ! * d<sup>k</sup> | + | *** a<sub>k</sub> = 1 / k ! * d<sup>k</sup> / d x <sup>k</sup> f(x) | <sub>x = 0</sub> |
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| - | ** f(x) = ∑<sub>k | + | ** f(x) = ∑<sub>k≥0</sub> a<sub>k</sub> * x<sup>k</sup> / k ! |
** les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0 | ** les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0 | ||
| - | *** a<sub>k</sub> = d<sup>k</sup> | + | *** a<sub>k</sub> = d<sup>k</sup> / d x <sup>k</sup> f(x) | <sub>x = 0</sub> |
Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter. | Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter. | ||
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| - | f (x) = {a<sub>k</sub>} désigne une fonction génératrice de | + | f (x) = {a<sub>k</sub>} désigne une fonction génératrice de puissances ordinaire |
f (x) = {a<sub>k</sub>}<sub>e</sub> désigne une fonction génératrice exponnentielle | f (x) = {a<sub>k</sub>}<sub>e</sub> désigne une fonction génératrice exponnentielle | ||
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| + | Des exemples permettent de mieux saisir ces différentes fonctions génératrices | ||
f (x) = {1<sub>k</sub>} = 1 + x + x<sup>2</sup> + x<sup>3</sup> + ... + x<sup>k</sup> + ... = 1 / (1 - x) | f (x) = {1<sub>k</sub>} = 1 + x + x<sup>2</sup> + x<sup>3</sup> + ... + x<sup>k</sup> + ... = 1 / (1 - x) | ||
| - | f (x) = {1<sub>k</sub>}<sub>e</sub> = 1 + x / 1 ! + x<sup>2</sup> / 2 ! + x<sup>3</sup> / 3 ! + ... + x<sup>k</sup> / n ! + ... = e<sup>x</sup> | + | f (x) = {1<sub>k</sub>}<sub>e</sub> = 1 + x / 1 ! + x<sup>2</sup> / 2 ! + x<sup>3</sup> / 3 ! + ... + x<sup>k</sup> / n ! + ... = e<sup>x</sup> (d'où le caractère exponenteille) |
Version du 13 juillet 2013 à 17:02
Sommaire |
Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers
But
Déterminer la fonction génératrice de la somme de n entiers.
Introduction
Une fonction génératrice est une fonction d'une variable f(x) dont les coefficients du développement en xk correspond à celui d'une série ak (pour 1 ≤ k &infiny;) donnée.
Il y a 2 sortes de fonctions génératrices :
- l'une écrite sous la forme d'un développement en série de puissances ordinaire
- f(x) = ∑k≥0 ak * xk
- les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0
- ak = 1 / k ! * dk / d x k f(x) | x = 0
- l'autre écrite sous la forme d'un développement en série de puissances pour des fonctions génératrices exponentielles
- f(x) = ∑k≥0 ak * xk / k !
- les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0
- ak = dk / d x k f(x) | x = 0
Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter.
Notation
f (x) = {ak} désigne une fonction génératrice de puissances ordinaire
f (x) = {ak}e désigne une fonction génératrice exponnentielle
Des exemples permettent de mieux saisir ces différentes fonctions génératrices
f (x) = {1k} = 1 + x + x2 + x3 + ... + xk + ... = 1 / (1 - x)
f (x) = {1k}e = 1 + x / 1 ! + x2 / 2 ! + x3 / 3 ! + ... + xk / n ! + ... = ex (d'où le caractère exponenteille)
Fort de la relation récursive des sommes des entiers à la puissance k, il est possible de déterminer la fonction génératrice recherchée.
