Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers à la puissance k
Un article de Wikipedia.
(→Introduction) |
(→Introduction) |
||
| Ligne 11 : | Ligne 11 : | ||
* l'une écrite sous la forme d'un développement de Taylor | * l'une écrite sous la forme d'un développement de Taylor | ||
| - | ** f(x) = ∑<sub>k= | + | ** f(x) = ∑<sub>k=0</sub><sup>k=&infinity;</sup> a<sub>k</sub> * x<sup>k</sup> |
** les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0 | ** les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0 | ||
*** a<sub>k</sub> = 1 / k ! * d<sup>k</sup> f(x) / d x <sup>k</sup> | <sub>x = 0</sub> | *** a<sub>k</sub> = 1 / k ! * d<sup>k</sup> f(x) / d x <sup>k</sup> | <sub>x = 0</sub> | ||
* l'autre écrite sous la forme d'un développement de | * l'autre écrite sous la forme d'un développement de | ||
| - | ** f(x) = ∑<sub>k= | + | ** f(x) = ∑<sub>k=0</sub><sup>k=&infinity;</sup> a<sub>k</sub> * x<sup>k</sup> / k ! |
** les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0 | ** les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0 | ||
*** a<sub>k</sub> = d<sup>k</sup> f(x) / d x <sup>k</sup> | <sub>x = 0</sub> | *** a<sub>k</sub> = d<sup>k</sup> f(x) / d x <sup>k</sup> | <sub>x = 0</sub> | ||
Version du 13 juillet 2013 à 16:49
Sommaire |
Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers
But
Déterminer la fonction génératrice de la somme de n entiers.
Introduction
Une fonction génératrice est une fonction d'une variable f(x) dont les coefficients du développement en xk correspond à celui d'une série ak (pour 1 ≤ k &infiny;) donnée.
Il y a 2 sortes de fonctions génératrices :
- l'une écrite sous la forme d'un développement de Taylor
- f(x) = ∑k=0k=&infinity; ak * xk
- les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0
- ak = 1 / k ! * dk f(x) / d x k | x = 0
- l'autre écrite sous la forme d'un développement de
- f(x) = ∑k=0k=&infinity; ak * xk / k !
- les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0
- ak = dk f(x) / d x k | x = 0
Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter.
Notation
f (x) = {ak} désigne une fonction génératrice de Taylor
f (x) = {ak}e désigne une fonction génératrice exponnentielle
Exemples
f (x) = {1k} = 1 + x + x2 + x3 + ... + xk + ... = 1 / (1 - x)
f (x) = {1k}e = 1 + x / 1 ! + x2 / 2 ! + x3 / 3 ! + ... + xk / n ! + ... = ex
Fort de la relation récursive des sommes des entiers à la puissance k, il est possible de déterminer la fonction génératrice recherchée.
