Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers à la puissance k

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== Introduction ==
== Introduction ==
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Une fonction génératrice est une fonction d'une variable f(x) dont les coefficients du développement en x<sup>n</sup> correspond à celui d'une série a<sub>n</sub> (pour 1 &le; n &infiny;) donnée.
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Une fonction génératrice est une fonction d'une variable f(x) dont les coefficients du développement en x<sup>k</sup> correspond à celui d'une série a<sub>k</sub> (pour 1 &le; k &infiny;) donnée.
Il y a 2 sortes de fonctions génératrices :
Il y a 2 sortes de fonctions génératrices :
* l'une écrite sous la forme d'un développement de Taylor
* l'une écrite sous la forme d'un développement de Taylor
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** f(x) = &sum;<sub>n=1</sub><sup>n=&infinity; a<sub>n</sub> * x<sub>n</sub>
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** f(x) = &sum;<sub>k=1</sub><sup>k=&infinity; a<sub>k</sub> * x<sub>k</sub>
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** les coefficients sont obtenus par dérivée n ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0
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** les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0
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*** a<sub>n</sub> = 1 / n ! * d<sup>n</sup> f(x) / d x <sup>n</sup> | <sub>x = 0</sub>
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*** a<sub>k</sub> = 1 / k ! * d<sup>k</sup> f(x) / d x <sup>k</sup> | <sub>x = 0</sub>
* l'autre écrite sous la forme d'un développement de
* l'autre écrite sous la forme d'un développement de
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** f(x) = &sum;<sub>n=1</sub><sup>n=&infinity; a<sub>n</sub> * x<sub>n</sub> / n !
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** f(x) = &sum;<sub>k=1</sub><sup>k=&infinity; a<sub>k</sub> * x<sub>k</sub> / k !
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** les coefficients sont obtenus par dérivée n ième de la fonction et calculée au point 0
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** les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0
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*** a<sub>n</sub> = d<sup>n</sup> f(x) / d x <sup>n</sup> | <sub>x = 0</sub>
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*** a<sub>k</sub> = d<sup>k</sup> f(x) / d x <sup>k</sup> | <sub>x = 0</sub>
Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter.
Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter.
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=== Notation ===
=== Notation ===
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f (x) = {a<sub>n</sub>} désigne une fonction génératrice de Taylor
+
f (x) = {a<sub>k</sub>} désigne une fonction génératrice de Taylor
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f (x) = {a<sub>n</sub>}<sub>e</sub> désigne une fonction génératrice exponnentielle
+
f (x) = {a<sub>k</sub>}<sub>e</sub> désigne une fonction génératrice exponnentielle
Exemples
Exemples
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f (x) = {1<sub>n</sub>} = 1 / (1 - x)
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f (x) = {1<sub>k</sub>} = 1 + x + x<sup>2</sup> + x<sup>3</sup> + ... + x<sup>k</sup> + ... = 1 / (1 - x)
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f (x) = {1<sub>n</sub>}<sub>e</sub> = e<sup>x</sup>
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f (x) = {1<sub>k</sub>}<sub>e</sub> = 1 + x / 1 ! + x<sup>2</sup> / 2 ! + x<sup>3</sup> / 3 ! + ... + x<sup>k</sup> / n ! + ... = e<sup>x</sup>

Version du 13 juillet 2013 à 16:47

Sommaire

Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers

But

Déterminer la fonction génératrice de la somme de n entiers.

Introduction

Une fonction génératrice est une fonction d'une variable f(x) dont les coefficients du développement en xk correspond à celui d'une série ak (pour 1 ≤ k &infiny;) donnée.

Il y a 2 sortes de fonctions génératrices :

  • l'une écrite sous la forme d'un développement de Taylor
    • f(x) = ∑k=1k=&infinity; ak * xk
    • les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0
      • ak = 1 / k ! * dk f(x) / d x k | x = 0
  • l'autre écrite sous la forme d'un développement de
    • f(x) = ∑k=1k=&infinity; ak * xk / k !
    • les coefficients sont obtenus par dérivée k ième de la fonction et calculée au point 0
      • ak = dk f(x) / d x k | x = 0

Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter.

Notation

f (x) = {ak} désigne une fonction génératrice de Taylor

f (x) = {ak}e désigne une fonction génératrice exponnentielle

Exemples

f (x) = {1k} = 1 + x + x2 + x3 + ... + xk + ... = 1 / (1 - x)

f (x) = {1k}e = 1 + x / 1 ! + x2 / 2 ! + x3 / 3 ! + ... + xk / n ! + ... = ex


Fort de la relation récursive des sommes des entiers à la puissance k, il est possible de déterminer la fonction génératrice recherchée.

Résultats

Conclusions

Ressources

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