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Version du 13 juillet 2013 à 16:41

Sommaire 1 Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers 1.1 But 1.2 Introduction 1.2.1 Notation 1.3 Résultats 1.4 Conclusions 1.5 Ressources

Fonction génératrice de la somme de n nombres entiers

But

Déterminer la fonction génératrice de la somme de n entiers.

Introduction

Une fonction génératrice est une fonction d'une variable f(x) dont les coefficients du développement en xⁿ correspond à celui d'une série a_n (pour 1 ≤ n &infiny;) donnée.

Il y a 2 sortes de fonctions génératrices :

• l'une écrite sous la forme d'un développement de Taylor
  • f(x) = ∑_n=1^{n=&infinity; a_n * x_n}
  • les coefficients sont obtenus par dérivée n ième de la fonction et qui est ensuite calculée au point 0
    • a_n = 1 / n ! * dⁿ f(x) / d x ⁿ | _{x = 0}
• l'autre écrite sous la forme d'un développement de
  • f(x) = ∑_n=1^{n=&infinity; a_n * x_n / n !}
  • les coefficients sont obtenus par dérivée n ième de la fonction et calculée au point 0
    • a_n = dⁿ f(x) / d x ⁿ | _{x = 0}

Chaque sorte de fonction génératrice a ses possibilités propres et est utilisée en fonction de la série à traiter.

Notation

f (x) = {a_n} désigne une fonction génératrice de Taylor

f (x) = {a_n}_e désigne une fonction génératrice exponnentielle

Exemples

f (x) = {1_n} = 1 / (1 - x)

f (x) = {1_n}_e = e^x

Fort de la relation récursive des sommes des entiers à la puissance k, il est possible de déterminer la fonction génératrice recherchée.

Résultats

Conclusions

Ressources