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Version du 26 décembre 2016 à 11:11

Crible de détermination des nombres premiers basé sur (a + b) * (a - b) = (a² - b²)

But

Déterminer une méthode pour rechercher les nombres premiers en se basant sur la propriété (a + b) * (a - b) = (a² - b²).

Introduction

Soit la relation

(1) (a + b) * (a - b) = (a2 - b2)

Elle peut être réécrite différemment en posant :

x = a + b
y = a - b

Il advient alors que

a = (x + y) / 2
b = (x - y) / 2

et la relation (1) se réécrit

(2) x y = [ (x + y) / 2 ]2 - [ (x - y) / 2 ]2

Cas particuliers et conséquences

Tous les nombres peuvent s'écrire comme des différences de carrés

En prenant

x = z
y = 1

alors

z = [ (z + 1) / 2 ]2 - [ (z - 1) / 2 ]2

Cas des nombres entiers impairs

Si z est un nombre entier impair alors il peut s'écrire comme la différence de deux carrés successifs.

Si z est un nombre entier impair

z = 2 n + 1 avec n ∈ N

alors

(z + 1) / 2 = (2 n + 1 + 1) / 2 = n + 1
(z - 1) / 2 = (2 n + 1 - 1) / 2 = n

donc par (2)

(3) z = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2

soit la différence de deux carrés de nombres entiers successifs.

Cas des nombres premiers impairs

Si p est un nombre premier impair alors il n'existe qu'une manière de l'écrire comme une différence de carrés.

Si p est un nombre premier impair alors par (3)

p = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2

Supposons maintenant qu'il existe deux nombres entiers positifs k et m non successifs tels que

p = k2 - m2 avec k > m + 1 et k > 0 et m > 0

alors

p = k2 - m2 = (k + m) (k - m)

p a donc deux diviseurs, k + m et k - m

Pour k + m, comme

m > 0 et k > m + 1

alors

k + m > k > m + 1 > 1  

Pour k - m, comme

k > m + 1

alors

k - m > 1

Ce qui impliquerait qu'il existerait deux diviseurs du nombre premier p plus grand que 1 ce qui contredit le fait que p est un nombre premier.

Donc, il n'existe qu'une manière d'écrire un nombre premier comme une différence de carrés soit par la différence de carrés successifs.

Cas des nombres entiers composés impairs

Si n est un nombre entier composé impair, alors il existe plusieurs représentations sous forme de différence de deux carrés.

Si n est un nombre entier composé impaire

z = 2 n + 1 = k m avec k, m ∈ N et k, m > 1

alors il existe au moins deux représentations sous forme d'un différence de carrés :

La première pour z comme étant un nombre impair par (3)

z = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2

et la deuxième pour comme étant un nombre composé en utilisant le cas général (2)

z = k m = [ (k + m) / 2 ]2 - [ (k - m) / 2 ]2

A chaque décomposition du nombre z, il existe une autre représentation par une différence de carrés.

Seul la différence de deux carrés de parités différentes est impaire

Résultats

Conclusions

Ressources