Crible de détermination des nombres premiers basé sur (a + b) * (a - b) = (a * a - b * b)

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m (Cas des nombres entiers impairs)
m (Cas des nombres premiers impairs)
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===== Cas des nombres premiers impairs =====
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'''Si p est un nombre premier impair alors il n'existe qu'une manière de l'écrire comme une différence de carrés successifs.'''
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'''''Si p est un nombre premier impair alors il n'existe qu'une manière de l'écrire comme une différence de carrés successifs.'''''
Si p est un nombre premier impair alors par (3)
Si p est un nombre premier impair alors par (3)

Version du 26 décembre 2016 à 10:57

Sommaire

Crible de détermination des nombres premiers basé sur (a + b) * (a - b) = (a2 - b2)

But

Déterminer une méthode pour rechercher les nombres premiers en se basant sur la propriété (a + b) * (a - b) = (a2 - b2).

Introduction

Soit la relation

(1) (a + b) * (a - b) = (a2 - b2)

Elle peut être réécrite différemment en posant :

x = a + b
y = a - b

Il advient alors que

a = (x + y) / 2
b = (x - y) / 2

et la relation (1) se réécrit

(2) x y = [ (x + y) / 2 ]2 - [ (x - y) / 2 ]2

Cas particuliers et conséquences

Tous les nombres peuvent s'écrire comme des différences de carrés

En prenant

x = z
y = 1

alors

z = [ (z + 1) / 2 ]2 - [ (z - 1) / 2 ]2
Cas des nombres entiers impairs

Si z est un nombre entier impair alors il peut s'écrire comme la différence de deux carrés successifs. Si z est un nombre entier impair

z = 2 n + 1 avec n ∈ N

alors

(z + 1) / 2 = (2 n + 1 + 1) / 2 = n + 1
(z - 1) / 2 = (2 n + 1 - 1) / 2 = n

donc

(3) z = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2

soit la différence de deux carrés de nombres entiers successifs.

Cas des nombres premiers impairs

Si p est un nombre premier impair alors il n'existe qu'une manière de l'écrire comme une différence de carrés successifs.

Si p est un nombre premier impair alors par (3)

p = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2

Supposons maintenant qu'il existe deux nombres entiers positifs k et m non successifs tels que

p = k2 - m2 avec k > m + 1 et k > 0 et m > 0

alors

p = k2 - m2 = (k + m) (k - m)

p a donc deux diviseurs, k + m et k - m

Pour k + m, comme

m > 0 et k > m + 1

alors

k + m > k > m + 1 > 1  

Pour k - m, comme

k > m + 1

alors

k - m > 1

Ce qui impliquerait qu'il existerait deux diviseurs du nombre premier p plus grand que 1 ce qui contredit le fait que p est un nombre premier.

Donc, il n'existe qu'une manière d'écrire un nombre premier comme une différence de carrés successifs

Cas des nombres entiers composés impairs

Si n est un nombre entier composé impair, alors il existe plusieurs représentations sous forme de différence de deux carrés.

Si n est un nombre entier composé impaire

z = 2 n + 1 = k m =avec k, m ∈ N et k, m > 1

alors il existe au moins deux représentations sous forme d'un différence de carrés :

La première pour z comme étant un nombre impair par (3)

z = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2

et la deuxième comme étant un nombre composé par le cas général (2)

z = k m = [ (k + m) / 2 ]2 - [ (k - m) / 2 ]2

A chaque décomposition du nombre z, il existe une autre représentation par une différence de carrés.

Résultats

Conclusions

Ressources