Crible de détermination des nombres premiers basé sur (a + b) * (a - b) = (a * a - b * b)

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===== Cas des nombres entiers impaires =====
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z est un nombre impair alors il peut s'écrire comme la différence de deux carrés successifs.
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Si z est un nombre impair alors il peut s'écrire comme la différence de deux carrés successifs.
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Version du 26 décembre 2016 à 10:12

Sommaire

Crible de détermination des nombres premiers basé sur (a + b) * (a - b) = (a2 - b2)

But

Déterminer une méthode pour rechercher les nombres premiers en se basant sur la propriété (a + b) * (a - b) = (a2 - b2).

Introduction

Soit la relation

(1) (a + b) * (a - b) = (a2 - b2)

Elle peut être réécrite différemment en posant :

x = a + b
y = a - b

Il advient alors que

a = (x + y) / 2
b = (x - y) / 2

et la relation (1) se réécrit

(2) x y = [ (x + y) / 2 ]2 - [ (x - y) / 2 ]2

Cas particuliers et conséquences

Tous les nombres peuvent s'écrire comme des différences de carrés

En prenant

x = z
y = 1

alors

z = [ (z + 1) / 2 ]2 - [ (z - 1) / 2 ]2
Cas des nombres entiers impaires

Si z est un nombre impair alors il peut s'écrire comme la différence de deux carrés successifs.

Si

z = 2 n + 1 avec n ∈ Ν

alors

(z + 1) / 2 = (2 n + 1 + 1) / 2 = n + 1
(z - 1) / 2 = (2 n + 1 - 1) / 2 = n

donc

z = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2

Résultats

Conclusions

Ressources