Crible de détermination des nombres premiers basé sur (a + b) * (a - b) = (a * a - b * b)
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Version du 26 décembre 2016 à 10:11
Sommaire |
Crible de détermination des nombres premiers basé sur (a + b) * (a - b) = (a2 - b2)
But
Déterminer une méthode pour rechercher les nombres nombres premiers en se basant sur la propriété (a + b) * (a - b) = (a2 - b2).
Introduction
Soit la relation
(1) (a + b) * (a - b) = (a2 - b2)
Elle peut être réécrite différemment en posant :
x = a + b y = a - b
Il advient alors que
a = (x + y) / 2 b = (x - y) / 2
et la relation (1) se réécrit
(2) x y = [ (x + y) / 2 ]2 - [ (x - y) / 2 ]2
Cas particuliers et conséquences
Tous les nombres peuvent s'écrire comme des différences de carrés
En prenant
x = z y = 1
alors
z = [ (z + 1) / 2 ]2 - [ (z - 1) / 2 ]2
Cas des nombres entiers impaires
z est un nombre impair alors il peut s'écrire comme la différence de deux carrés successifs.
Si
z = 2 n + 1 avec n ∈ Ν
alors
(z + 1) / 2 = (2 n + 1 + 1) / 2 = n + 1 (z - 1) / 2 = (2 n + 1 - 1) / 2 = n
donc
z = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2
