Crédit, intérêt et primes

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Sommaire

But

Déterminer l'intérêt d'un crédit ainsi que la prime à rembourser mensuellement en fonction du taux d'intérêt et du nombre de mensualités pour le remboursement du crédit.

Introduction

Soit les définitions de variables suivantes :

M montant du crédit ( M > 0)
t taux annuel d'intérêt du crédit
m nombre de mensualités du crédit
P prime mensuelle pour le remboursement du crédit
I intérêt du crédit

Préliminaires

Si un montant M est placé durant une année à au taux d'intérêt annuel t, alors le montant Mannuel à la fin de l'année est :

Mannuel = M ( 1 + t )

Si le montant M est placé durant un mois à un taux d'intérêt annuel t, alors le montant Mmensuel à la fin du mois est :

Mmensuel = M ( 1 + t ) (1/12)

Et, au fil des mois, sur 12 mois, nous avons :

Mannuel = M ( 1 + t ) (1/12)( 1 + t ) (1/12) ...( 1 + t ) (1/12) = M (( 1 + t ) (1/12))12 = M ( 1 + t )

Pour simplifier la notation posons donc :

α = ( 1 + t ) (1/12)

Nous avons alors :

Mmensuel = M α
Mannuel = M α12

Prime du crédit

Pour en revenir au crédit, soit un crédit M prêté au taux d'intérêt annuel t durant m mensualités. Et soit P la prime à payer à priori inconnue.

L'idée est simple, initialement, à la mensualité k = 0, le montant du crédit est -M.

Après un mois (k = 1), le crédit initial M prêté au taux d'intérêt t est devenu -M α et nous avons remboursé le crédit en versant la prime P. Le montant du crédit devient donc -M α + P.

Au mois suivant (k = 2), le montant du crédit (-M α + P) prêté au taux d'intérêt t devient (-M α + P) α et nous avons versé la prime P. Le nouveau montant du crédit devient donc (-M α + P) α + P

En continuant ainsi :

-Mk+1 = -Mk α + P (pour k ≥ 0) avec -M0 = -M

En développant la série :

k Montant du crédit
0 -M
1 -M α + P
2 ( -M α + P ) α + P = -M α2 + P ( 1 + α )
3 ( -M α2 + P ( 1 + α ) ) α + P = -M α3 + P ( 1 + α + α2 )
k -Mk-1 α + P
n -M αn + P ( 1 + α + α2 + ... + αn-1 ) = -M αn + P ( α n - 1 ) / ( α - 1 )

Et après m mensualités, le montant du crédit est nul et donc

-M αm + P ( α m - 1 ) / ( α - 1 ) = 0

ou

(1) P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 )

qui est le montant de la prime recherché.

Intérêt du crédit

Quel est alors l'intérêt du crédit ?

Pour rembourser le crédit M, il a fallu payer m mensualités de prime P.

L'intérêt du crédit est donc

(2) I = m P - M
(2') I = m M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) - M = M [ m αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) - 1 ]

Cas particuliers

Cas particulier du taux d'intérêt nul

Pour vérification, considérons le cas du taux d'intérêt nul.

Si le taux d'intérêt est très faible, le développement de αn est

αn = ( 1 + t )( n/12 ) = 1 + n t / 12 + O( t2 ) = 1 + n β t + O( t2 ) si t ≅ 0 et avec β = 1/12

Alors la prime P (1) devient

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) ≅ M ( 1 + m β t ) ( 1 + β t - 1 ) / ( 1 + m β t - 1 ) ≅ M (1 + m β t) / m ≅ M / m si t ≅ 0

Nous avons bien que la prime se résume au montant M divisé par le nombre de mensualités.

Et l'intérêt (2) est bien nul.

I = m P - M = m M / m - M = 0

Cas particulier d'une unique mensualité

Si m = 1, la prime P (1) vaut

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) = M α ( α - 1 ) / ( α - 1 ) = M α

et l'intérêt (2) est bien celui attendu

I = m P - M = M α - M = M ( α - 1 )

Cas particulier d'un grand nombre de mensualités à un taux non nul

Si le taux d'intérêt est non nul et le nombre de mensualités grand, alors comme

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 )

on a

αm / ( α m - 1 ) → 1 si m grand et t > 0

et donc

P → M ( α - 1 ) si m grand et t > 0

En d'autres termes, la prime P à rembourser tend vers l'intérêt mensuel I = M ( α - 1 ) (cas particulier d'une unique mensualité).

Signification de m grand

Mais quel est l'ordre de grandeur associé à m grand ?

Posons

αm / ( α m - 1 ) ≤ 1 + ε

pour déterminer une borne pour m grand, où ε est un nombre positif proche de zéro.

Alors

1 / ( 1 - 1 / αm ) ≤ 1 + ε
1 / ( 1 + ε ) ≤ 1 - 1 / αm
1 / αm ≤ 1 - 1 / ( 1 + ε ) = ε / ( 1 + ε )
( 1 + ε ) / ε ≤ αm
ln [ ( 1 + ε ) / ε ] ≤ m ln α
ln [ ( 1 + ε ) / ε ] / ln α ≤ m

et donc

(4) m ≥ ln [ ( 1 + ε ) / ε ] / ln α

On voit bien que plus ε et / ou le taux d'intérêt (et donc α) est / sont petit(s) et plus m est grand.

Proportionnalités

Les équations de la prime P (1) et de l'intérêt I (2) et (2') montrent que les rapports P / M et I / M ne dépendent que du nombre de mensualités et du taux d'intérêt.

Cela signifie en particulier que si le montant d'un crédit double, la prime et l'intérêt doublent aussi.

Résultats

Pour prendre un cas concret, prenons le cas de la banque Migros qui propose en ligne des crédits au taux de 5.9%.

Une de leurs brochures résume les primes et les intérêts des crédits en fonction du montant et du nombre de mensualités des crédits.

Selon les calculs effectués sous LibreOffice (v. 4.3.7.2) nous obtenons :

M M M M M
5000 10000 15000 20000 50000
k P / M I / M P I P I P I P I P I
mensualité prime / montant intérêt / montant prime intérêt prime intérêt prime intérêt prime intérêt prime intérêt
12 0.0859498286 0.0313979437 429.75 157 859.5 314 1289.25 471 1719 628 4297.5 1570
24 0.044206347 0.0609523286 221.05 305.2 442.05 609.2 663.1 914.4 884.15 1219.6 2210.3 3047.2
36 0.0303070824 0.0910549668 151.55 455.8 303.05 909.8 454.6 1365.6 606.15 1821.4 1515.35 4552.6
48 0.0233688533 0.1217049584 116.85 608.8 233.7 1217.6 350.55 1826.4 467.4 2435.2 1168.45 6085.6
60 0.0192150175 0.1529010472 96.1 766 192.15 1529 288.25 2295 384.3 3058 960.75 7645


Calculons quelques limites pour m grand (4) pour un taux d'intérêt de 5.9 %

α = ( 1 + t )1/12 = 0.0047889962
ε limite m grand rapport : αm / ( αm - 1 ) nombre d'années : m / 12 P / M
0.1 501.95743277 1.1 41.8 0.0052673691
0.05 637.3175193206 1.05 53.1 0.0050279432
0.01 966.0947551952 1.01 80.5 0.0048364025
0.001 1446.2269691269 1.001 120.5 0.0047933059
0.0001 1928.0445871574 1.0001 160.7 0.0047889962

Au vu du nombre d'années que cela représente, autant dire que cela n'est jamais le cas !

Conclusions

Ressources