Crédit, intérêt et primes

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| t || taux annuel d'intérêt du crédit
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Version du 14 juin 2016 à 05:56

Sommaire

But

Déterminer l'intérêt d'un crédit ainsi que la prime à rembourser mensuellement en fonction du taux d'intérêt et du nombre de mensualités pour le remboursement du crédit.

Introduction

Soit les définitions de variables suivantes :

M Montant du crédit ( M > 0)
t taux annuel d'intérêt du crédit
m nombre de mensualités du crédit
P prime mensuelle pour le remboursement du crédit

Préliminaires

Un montant M est placé durant une année à au taux d'intérêt annuel t, alors le montant Mannuel à la fin de l'année est :

Mannuel = M ( 1 + t )

Si le montant M est placé durant un mois à un taux d'intérêt annuel t, alors le montant Mmensuel à la fin du mois est :

Mmensuel = M ( 1 + t ) (1/12)

Et, au fil des mois, et sur 12 mois nous avons :

Mannuel = M ( 1 + t ) (1/12)( 1 + t ) (1/12) ...( 1 + t ) (1/12) = M (( 1 + t ) (1/12))12 = M ( 1 + t )

Pour simplifier la notation posons donc :

α = ( 1 + t ) (1/12)

Nous avons alors :

Mmensuel = M α
Mannuel = M α12

Prime du crédit

Pour en revenir au crédit, soit un crédit M prêté au taux d'intérêt annuel t durant m mensualités. Et soit P la prime à payer à priori inconnue.

L'idée est simple, initialement, à la mensualité k = 0, le montant du crédit est -M.

Après un mois (k = 1), le crédit initial M prêté au taux d'intérêt t est devenu -M α et nous avons remboursé le crédit en versant la prime P. Le montant du crédit devient donc -M α + P.

Au mois suivant (k = 2), le montant du crédit (-M α + P) prêté au taux d'intérêt t devient (-M α + P) α et nous avons versé la prime P. Le nouveau montant du crédit devient donc (-M α + P) α + P

En continuant ainsi :

-Mk+1 = -Mk α + P (pour k ≥ 0) avec -M0 = -M

En développant la série :

k Montant du crédit
0 -M
1 -M α + P
2 ( -M α + P ) α + P = -M α2 + P ( 1 + α )
3 ( -M α2 + P ( 1 + α ) ) α + P = -M α3 + P ( 1 + α + α2 )
k -Mk-1 α + P
n -M αn + P ( 1 + α + α2 + ... + αn-1 ) = -M αn + P ( α n - 1 ) / ( α - 1 )

Et après m mensualités, le montant du crédit est nul et donc

-M αm + P ( α m - 1 ) / ( α - 1 ) = 0

ou

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 )

qui est le montant de la prime recherché.

Intérêt du crédit

Quel est alors l'intérêt du crédit ?

Pour rembourser le crédit M, il a fallu payer m mensualités de prime P.

L'intérêt du crédit est donc

I = m P - M = m M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) - M = M [ m αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) - 1 ]

Résultats

Conclusions

Ressources