Graphes et premier nombre de Ramsey

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Sommaire

Graphes et premier nombre de Ramsey

But

Déterminer les graphes équivalents ayant au plus 6 sommets et utiliser ces graphes pour vérifier le premier nombre de Ramsey R(3,3).

Introduction

Un graphe est constitué d'un nombre n de sommets parfois reliés entre eux par des arrêtes.

Deux graphes sont considérés ici comme équivalents si :

  • une permutation des sommets d'un graphe équivaut à l'autre
  • pour un graphe chaque arrête est éliminée et chaque absence d'arrête est remplacée par une arrête et qu'il existe une permutation des sommets du graphe qui équivaut à l'autre

Nombre de Ramsey

Le nombre de Ramsey R(n,k) est le nombre minimum de sommets nécessaires pour qu'un graphe contenant un nombre arbitraire d'arrêtes comporte soit n sommets tous reliés entre eux soit k sommets tous non reliés entre eux.

Une autre formulation est le nombre R(n,k) de personnes qu'il faut inviter pour que n personnes se connaissent toutes entre elles ou que k personnes ne se connaissent pas entre elles.

Certains nombres de Ramsey sont connus, entre autres (voir Ressources :

n k R(n,k)
3 3 6
3 4 9
4 4 18
5 5 entre 43 et 49
6 6 entre 102 et 165

Permutations

Pour déterminer l'équivalence d'un graphe de n sommets, il faut disposer de la liste complète des permutations pour n éléments donnés.

L'algorithme utilisé est celui décrit dans les ressources.

Il consiste à partir de toutes les permutations de n = 2,

1 2
2 1

de déterminer toutes les permutations pour n = 3 en triplant chaque ligne du cas n = 2

1 2
1 2
1 2
2 1
2 1
2 1

et en insérant le chiffre 3 dans chaque ligne en commençant par la dernière position jusqu'à la première et une fois la première position atteinte, recommencer depuis la première jusqu'à la dernière :

1 2 3
1 3 2
3 1 2
3 2 1
2 3 1
2 1 3

Pour n = 4 il faut quadrupler chaque ligne du cas n = 3 et insérer le chiffre 4 de la même manière que précédemment :

1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3 2
1 3 2
1 3 2
1 3 2
3 1 2
3 1 2
3 1 2
3 1 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
2 3 1
2 3 1
2 3 1
2 3 1
2 1 3
2 1 3
2 1 3
2 1 3

en insérant le chiffre 4 :

1 2 3 4
1 2 4 3
1 4 2 3
4 1 2 3
4 1 3 2
1 4 3 2
1 3 4 2
1 3 2 4
3 1 2 4
3 1 4 2
3 4 1 2
4 3 1 2
4 3 2 1
3 4 2 1
3 2 4 1
3 2 1 4
2 3 1 4
2 3 4 1
2 4 3 1
4 2 3 1
4 2 1 3
2 4 1 3
2 1 4 3
2 1 3 4

Anecdote sur les nombres de Ramsey

Paul Erdos disait : "Imaginez une force extraterrestre, vigoureuse et plus puissante que nous qui atérit sur la Terre et demande la valeur de R(5, 5) où sinon ils détruiront notre planète. Dans ce cas, nous devrions regrouper l'ensemble des ordinateurs et tous nos mathématiciens pour trouver la valeur. Mais supposons, par contre, qu'ils demandent la valeur R(6, 6), nous devrions alors tenter de détruire les extraterrestres."

Résultats

n = 2

Nombre d'arrêtes Arretes
0
1 par complément de 0

n = 3

Nombre d'arrêtes Arretes
0
1 [(1,2)]
2 par complément de 1
3 par complément de 0

n = 4

Nombre d'arrêtes Arretes
0
1 [(1,2)]
2 [(1,2),(1,3)]
[(1,2),(3,4)]
3 [(1,2),(1,3),(1,4)]
[(1,2),(1,3),(2,3)]
[(1,2),(1,3),(2,4)]
4 par complément de 2
5 par complément de 1
6 par complément de 0

n = 5

Nombre d'arrêtes Arretes
0
1 [(1,2)]
2 [(1,2),(1,3)]
[(1,2),(3,4)]
3 [(1,2),(1,3),(1,4)]
[(1,2),(1,3),(2,3)]
[(1,2),(1,3),(2,4)]
[(1,2),(1,3),(4,5)]
4 [(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)]
[(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)]
[(1,2),(1,3),(1,4),(2,5)]
[(1,2),(1,3),(2,3),(4,5)]
[(1,2),(1,3),(2,4),(3,4)]
[(1,2),(1,3),(2,4),(3,5)]
4 [(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)]
[(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)]
[(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,5)]
[(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(4,5)]
[(1,2),(1,3),(1,4),(2,5),(3,5)]
[(1,2),(1,3),(2,4),(3,5),(4,5)]
6 par complément de 4
7 par complément de 3
8 par complément de 2
9 par complément de 1
10 par complément de 0

Conclusions

Ressources

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