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Sommaire 1 But 2 Introduction 2.1 Représentation graphique d'une moyenne 2.2 Réécriture des équations reliant les solutions 2.3 Représentation graphique d'un produit 2.4 Cas particuliers de la propriété de la sécante 2.4.1 La sécante passe par le centre O du cercle 2.4.2 Le point de référence P de la sécante est sur le cercle 2.4.3 Le point de référence P se confond avec le centre O 2.4.4 Représentation graphique de la racine carrée d'un produit par la sécante tangente au cercle 2.5 Procédé pour la résolution d'une équation du second degré à l'aide d'une représentation graphique 2.5.1 Discriminant Δ 3 Résultats 3.1 Exemples 3.1.1 Discriminant positif 3.1.2 Discriminant nul 3.1.3 Discriminant négatif 4 Conclusions 5 Ressources

But

Résoudre une équation du second degré par une recherche graphique des solutions.

Introduction

Une équation du second degré a la forme générale suivante :

(1) a x2 + b x + c = 0  ou a, b et c ∈ ℝ et a ≠ 0.

Supposons que cette équation ait deux solutions x₁ et x₂ alors nous avons :

a (x - x1) (x - x2) = 0

dont le développement est :

a x2 - a (x1 + x2) x + a x1 x2 = 0

En faisant correspondre les termes avec l'équation initiale (1) (a étant non nul) :

x1 + x2 = - b / a
x1 x2 = c / a

Pour simplifier la notation, écrivons :

(2) x1 + x2 = α
(3) x1 x2 = β

avec

(4) α = - b / a
(5) β = c / a

Représentation graphique d'une moyenne

Sur une droite, définissons un point P comme point de référence ainsi que deux points distincts S et T.

Alors, PS et PT désigneront la distance des points S et T par rapport au point de référence P.

La moyenne des distances PS et PT se situe alors à mi-distance des points S et T :

moyenne = (PS + PT) / 2

En effet, le point à mi-distance entre S et T s'exprime par :

distance entre S et T = PT - PS
moitié de la distance entre S et T = (PT - PS) / 2
mi-distance par rapport au point P = PS + (PT - PS) / 2 = (PS + PT) / 2

Réécriture des équations reliant les solutions

Pour faire apparaître une moyenne dans les équations (2) et (3), posons :

(6) x1 = x1' / 2
(7) x2 = x2' / 2

Les équations (2) et (3) deviennent :

(8) (x1' + x2') / 2 = α
(9) x1' x2' = 4 β

Par l'équation (8), nous voyons apparaître que α est situé à mi-distance des solutions x₁^' et x₂^'.

Il reste à trouver une représentation du produit des solutions x₁^' et x₂^'.

Représentation graphique d'un produit

A la page 10 de l'ouvrage indiqué en référence sur les invariants mathématiques, il s'avère qu'une sécante à un cercle qui passe par un point de référence P et qui coupe le cercle en deux points S et T a la propriété remarquable que le produit de la distance PS PT est invariant et est relié au carré de la distance du point P par rapport au centre O du cercle et au carré du rayon r de ce cercle de la manière suivante :

(10) PO2 - r2 = PS PT

En effet, si l'on représente la médiatrice passant par la moyenne des points S et T, elle passe par le centre du cercle O et nous avons un triangle rectangle formé par O, P et l'intersection de la sécante et la médiatrice (localisation de la moyenne de la distance entre S et T) :

PO2 - h2 = [ (PS + PT) / 2 ]2

où h est la distance du centre du cercle O à la sécante.

La médiatrice passant par la moyenne entre S et T par rapport au point P est, par définition, le lieu à égale distance entre les points S et T qui sont ici sur le cercle de rayon r.

Donc :

r2 - h2 = [ (PT - PS) / 2 ]2

La différence de ces deux équations donne :

PO2 - r2 = [ (PS + PT) / 2 ]2 - [ (PT - PS) / 2 ]2 = [ (PS + PT) / 2 - (PT - PS) / 2 ] [ (PS + PT) / 2 + (PT - PS) / 2 ] = PS PT

Cas particuliers de la propriété de la sécante

L'équation (10) implique que le produit PS PT a la même valeur, quelque soit la sécante qui passe par le point P et qui coupe le cercle de centre O et de rayon r.

La sécante passe par le centre O du cercle

Une confirmation rapide (ou une manière simple de s'en rappeler) est le cas particulier de la sécante qui passe par le centre O.

Dans ce cas :

PS = PO - r
PT = PO + r

et l'on a bien

PS PT = (PO - r) (PO + r) = PO2 - r2

Le point de référence P de la sécante est sur le cercle

Si le point P est sur le cercle et que, disons S, s'identifie au point P alors :

PS = 0
PT = q (une valeur donnée)
PS PT = 0
PO = r
PO2 - r2 = r2 - r2 = 0

Le point de référence P se confond avec le centre O

Si le point de référence P se confond avec le centre O du cercle alors :

PS = -r
PT = r
PS PT = -r2
PO = 0
PO2 - r2 = 0 - r2 = -r2

Et cela montre aussi que la droite est orientée (PS = -r).

Représentation graphique de la racine carrée d'un produit par la sécante tangente au cercle

La propriété de la sécante implique aussi que s'il existe une sécante qui est tangente au cercle et pour laquelle S et T sont confondus, la distance au point P est une représentation de la racine carrée du produit PS PT !

Si P est hors du cercle, il y a deux tangentes et donc deux représentations du produit.

Si P est sur le cercle, il n'y a qu'une tangente qui représente alors un produit nul (car PS ou PT = 0 sur le cercle).

Si P est dans le cercle, il n'y a pas de tangente et donc pas de représentation du produit.

Procédé pour la résolution d'une équation du second degré à l'aide d'une représentation graphique

Le procédé pour la résolution de l'équation du second degré (1) se dégage des considérations précédentes :

• tracer une droite
• choisir un point P de référence comme origine (valeur du zéro)
• choisir une orientation des nombres positifs sur cette droite (habituellement vers la droite et vers le haut)
• placer le point Α à la distance α (4) du point de référence P qui sera la moyenne des solutions x₁^' et x₂^' de l'équation (8) sur la droite
• tracer la perpendiculaire au point Α qui représentera la médiatrice des solutions x₁^' et x₂^' de l'équation (8)
• placer un point O sur la perpendiculaire à une distance δ de la droite qui sera le centre d'un cercle
  • la distance du point P au point O vaut alors : PO² = δ² + α²
• tracer un cercle de centre O dont le rayon est calculé selon la propriété de la sécante (10) et l'équation (9) (ce cercle coupera la droite aux points x₁^' et x₂^') :
  • PO² - r² = x₁^' x₂^' = 4 β
  • δ² + α² - r² = 4 β
  • (11) r² = δ² + α² - 4 β
• l'intersection du cercle avec la droite, si elle est possible, donne les solutions x₁^' et x₂^' de l'équation de second degré (1) via les relations (6) et (7).

Discriminant Δ

Lors du calcul du rayon du cercle, nous voyons apparaître le discriminant Δ :

(12) discriminant Δ = α2 - 4 β

Si le discriminant est positif ou nul, δ² de l'équation (11) peut être nul ou non nul.

Dans le cas ou δ² est choisi nul, le centre du cercle O se confond avec le point Α qui est placé sur la droite à la distance α du point P, moyenne des solutions x₁^' et x₂^'.

Dans ce cas (où le discriminant est positif ou nul), il est relié au carré de la différence des solutions.

En effet, selon les équations (8) et (9) :

(13) [ (x1' + x2') / 2 ]2 - x1' x2' = [ (x1' - x2') / 2 ]2

et donc :

(13') [ (x1' - x2') / 2 ]2 = α2 - 4 β = Δ

L'équation (13) est une réécriture de :

(a-b)(a+b) = a2 - b2 avec a = (x1' + x2') / 2 et b = (x1' - x2') / 2

Cette réécriture permet une interprétation de l'équation (13) en (13') où la moyenne des solutions vaut α par l'équation (8), le produit des solutions 4 β par l'équation (9) et où Δ s'interprète comme le carré de la moitié de la différence des solutions.

Si le discriminant est négatif, il est toujours possible de calculer un rayon r en choisissant δ² ≥ - Δ.

Dans ce cas, le cercle ne peut pas couper la droite et il n'y a pas de solution à l'équation de second degré (1) car le rayon du cercle est toujours inférieur à δ, la distance à la droite.

Et, la racine carrée de l'opposé du discriminant Δ est une mesure de la tangente du cercle de rayon r et de centre O et passant par le point Α (à distance α du point P).

En effet, par la propriété de la sécante de point de référence Α et passant par le centre du cercle O :

(δ - r) (δ + r) = δ2 - r2 = - Δ

par définition (équation (11)) et c'est donc valable pour la tangente.

Résultats

Le résultat vraiment surprenant est que cette représentation graphique permet de représenter le cas Δ < 0.

Et, au final, il possible de représenter graphiquement les trois situations :

• celle où la droite coupe le cercle en deux points, donc deux solutions distinctes et Δ > 0
• celle où la droite est tangente au cercle et donc le touche en un point, donc deux solutions identiques et Δ = 0
• celle où la droite ne touche pas le cercle, donc aucune solution et Δ < 0

Dans le cas Δ ≥ 0, il existe une représentation pour α qui est la moyenne des solutions et pour Δ qui est le carré de la moitié de la différence des solutions.

Exemples

Discriminant positif

Équation du second degré x² - 3 x + 2 = 0

Donc, par (4), (5) et (12) :

α = -b / a = -(-3 / 1) = 3
β = c / a = 2 / 1 = 2
Δ = α2 - 4 β = 9 - 8 = 1

Le calcul du rayon r via (11) peut dans ce cas être fait avec soit δ > 0 soit δ = 0

Si δ = 1 par exemple, (11) devient :

r2 = δ2 + Δ = 1 + 1 = 2

Si δ = 0 alors (11) devient :

r2 = 0 + 1 = 1

En construisant selon la procédure décrite ci-dessus, les deux cas de figures conduisent aux représentations ci-dessous et l'on obtient :

x1' = 2
x2' = 4

soit par (6) et (7) :

x1 = x1' / 2 = 2 / 2 = 1
x2 = x2' / 2 = 4 / 2 = 2

le résultat attendu.

Discriminant nul

Équation du second degré x² - 2 x + 1 = 0

Donc, par (4), (5) et (12) :

α = - b / a = -(-2 / 1) = 2
β = c / a = 1 / 1 = 1
Δ = α2 - 4 β = 4 - 4 = 0

Le calcul du rayon r via (11) peut dans ce cas être fait avec soit δ > 0 soit δ = 0

Si δ = 1 par exemple, (11) devient :

r2 = δ2 + Δ = 1 + 0 = 1

Si δ = 0 alors (11) devient :

r2 = 0 + 0 = 0

Dans ce cas (δ = 0) les points Α (à distance α du point P), le centre du cercle O , les solutions x₁^' et x₂^', se confondent.

En construisant selon la procédure décrite ci-dessus, les deux cas de figures conduisent aux représentations ci-dessous et l'on obtient :

x1' = x2' = 2

soit par (6) et (7) :

x1 = x1' / 2 = 2 / 2 = 1
x2 = x2' / 2 = 2 / 2 = 1

le résultat attendu.

Discriminant négatif

Équation du second degré x² - x + 1 = 0

Donc, par (4), (5) et (12) :

α = - b / a = -(-1 / 1) = 1
β = c / a = 1 / 1 = 1
Δ = α2 - 4 β = 1 - 4 = -3

Le calcul du rayon r via (11) doit dans ce cas être fait avec δ² ≥ - Δ > 0

Si δ² = - Δ, (11) devient :

r2 = δ2 + Δ = - Δ + Δ = 0

Si δ² = - 2 Δ alors (11) devient :

r2 = - 2 Δ + Δ = - Δ = - (-3) = 3

En construisant selon la procédure décrite ci-dessus, les deux cas de figures conduisent aux représentations ci-dessous et l'on obtient :

donc, aucune solution pour l'équation du second degré ci-dessus, comme attendu.

En jouant avec une droite et un cercle de rayon r, il est possible de représenter :

• toutes les situations où Δ = 0 en effectuant une rotation de la droite pour qu'elle touche le cercle en un point unique (tangente au cercle).
  • Le point P est choisi pour être à une distance α du point tangent.
• toutes les situations où 0 < Δ ≤ r² en effectuant une rotation de la droite pour qu'elle coupe le cercle en deux points pour satisfaire les équations (8) et (9).
  • La droite doit couper le cercle de telle sorte que Δ = [ (x₁^' - x₂^') / 2 ]² et le point P doit être à distance α de la mi-distance des solutions x₁^' et x₂^'.
  • La limite supérieure s'obtient quand la droite passe par le centre du cercle et dans ce cas Δ = [ (x₁^' - x₂^') / 2 ]² = [ 2 r / 2 ]² = r²
• toutes les situations où Δ < 0 en effectuant une rotation de la droite pour qu'elle ne touche pas le cercle et de telle sorte que Δ = r² - δ² avec δ la distance entre la droite et le cercle (équation (11)).
  • Et le point P doit être à une distance α de l'intersection de la normale à la droite passant par le centre O du cercle.

Si l'on choisit un point P sur la droite et que l'on fait tourner la droite autour du point P, on voit :

• que si le point P est très éloigné (α >> r) du cercle (par rapport au rayon du cercle), alors l'espace où il existe une solution (là ou la droite coupe le cercle) est limité
• qu'en approchant P du cercle (α > r), l'espace où il existe une solution augmente
• que si le point P touche (α = r) ou est (α < r) dans le cercle, il y a toujours un solution
  • que si le point P est au centre du cercle (α = 0), les solutions sont opposées

Conclusions

La représentation graphique des solutions d'une équation du second degré par une droite et un cercle permet de représenter tous les cas, y compris ceux où l'équation n'a pas de solution.

Il est clair que cette représentation graphique des solutions d'une équation du second degré permet d'obtenir des valeurs concrètes que dans des cas d'école car si α ou β engendrent des valeurs extrêmes (très petites ou très grandes) le graphique associé devient inutilisable pour une détermination concrète des solutions.

L'exercice de géométrie élémentaire consistant à faire passer un cercle par deux points revient à permettre de trouver les solutions des équations du second degré de Δ donné (le carré de la moitié de la distance entre les points), c'est juste une question d'interprétation.

Il en est d'ailleurs de même si la droite ne coupe pas le cercle, il n'y a pas de solution et c'est valable pour les équations du second degré de Δ = r² - δ² < 0, avec δ la distance du centre du cercle à la droite.

Ou de deux points sur une droite (cas Δ = 0 en utilisant δ = 0).

Ressources

La magie des invariants mathématiques - HS n^o 47 - Bibliothèque Tangente - Éditions POLE - Juillet 2013

Un grand Merci à BibMath pour son logiciel GeoLabo ayant servi à générer les images : GeoLabo - Logiciel de BibMath pour tracer des figures mathématiques - v 1.25 - http://www.bibmath.net/geolabo/ (archive GeoLabo)

L'animation de la procédure a été réalisée avec l'excellent logiciel de traitement d'images Gimp - v 2.6.9 - http://www.gimp.org/