Crible de détermination des nombres premiers basé sur (a + b) * (a - b) = (a * a - b * b)
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Crible de détermination des nombres premiers basé sur (a + b) * (a - b) = (a2 - b2)
But
Déterminer une méthode pour rechercher les nombres premiers en se basant sur la propriété (a + b) * (a - b) = (a2 - b2).
Introduction
Soit la relation
(1) (a + b) * (a - b) = (a2 - b2)
Elle peut être réécrite différemment en posant :
x = a + b y = a - b
Il advient alors que
a = (x + y) / 2 b = (x - y) / 2
et la relation (1) se réécrit
(2) x y = [ (x + y) / 2 ]2 - [ (x - y) / 2 ]2
Cas particuliers et conséquences
Tous les nombres peuvent s'écrire comme des différences de carrés
En prenant
x = z y = 1
alors
z = [ (z + 1) / 2 ]2 - [ (z - 1) / 2 ]2
Cas des nombres entiers impairs
Si z est un nombre entier impair alors il peut s'écrire comme la différence de deux carrés successifs.
Si z est un nombre entier impair
z = 2 n + 1 avec n ∈ N
alors
(z + 1) / 2 = (2 n + 1 + 1) / 2 = n + 1 (z - 1) / 2 = (2 n + 1 - 1) / 2 = n
donc par (2)
(3) z = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2
soit la différence de deux carrés de nombres entiers successifs.
Cas des nombres premiers impairs
Si p est un nombre premier impair alors il n'existe qu'une manière de l'écrire comme une différence de carrés successifs.
Si p est un nombre premier impair alors par (3)
p = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2
Supposons maintenant qu'il existe deux nombres entiers positifs k et m non successifs tels que
p = k2 - m2 avec k > m + 1 et k > 0 et m > 0
alors
p = k2 - m2 = (k + m) (k - m)
p a donc deux diviseurs, k + m et k - m
Pour k + m, comme
m > 0 et k > m + 1
alors
k + m > k > m + 1 > 1
Pour k - m, comme
k > m + 1
alors
k - m > 1
Ce qui impliquerait qu'il existerait deux diviseurs du nombre premier p plus grand que 1 ce qui contredit le fait que p est un nombre premier.
Donc, il n'existe qu'une manière d'écrire un nombre premier comme une différence de carrés.
Cas des nombres entiers composés impairs
Si n est un nombre entier composé impair, alors il existe plusieurs représentations sous forme de différence de deux carrés.
Si n est un nombre entier composé impaire
z = 2 n + 1 = k m =avec k, m ∈ N et k, m > 1
alors il existe au moins deux représentations sous forme d'un différence de carrés :
La première pour z comme étant un nombre impair par (3)
z = 2 n + 1 = (n + 1)2 - n2
et la deuxième comme étant un nombre composé par le cas général (2)
z = k m = [ (k + m) / 2 ]2 - [ (k - m) / 2 ]2
A chaque décomposition du nombre z, il existe une autre représentation par une différence de carrés.