Fraction générant son développement numérique
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Fraction générant son développement numérique
But
Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... répétant le nombre n=a1a2...ak-1ak où ai pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.
Introduction
Notation
Pour simplifier l'écriture, la fraction f = 0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... pourra aussi être notée : f = [a1...ak] avec ai pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.
Construction de f
La construction de f est simple, si n = a1a2...ak-1ak alors f = n * 0.00..0100..01... = n * 0.0102...0k-11k0102...0k-11k... = n*[01...0k-11k] = n * [0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.
Ou f = n * (1/10k+1/102*k+...) = n * (x+x2+x3+...) pour x = 1/10k.
Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x2+x3+... si |x|<1.
Alors x+x2+x3+... = 1/(1-x)-1 = x/(1-x).
Appliqué au f précédent :
avec x = 1/10k f = n * x/(1-x) = n * 1/(1/x-1) = n / (10k-1).
Donc f = n / (10k-1).
Et, pour être plus explicite, 10k-1 = 999..99k soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f = [a1...ak] :
f = n / (10k-1) = n / 9192..9k
Résultats
Ainsi, ave le résultat précédemment acquis :
f = 1/3 = 0.3333... = [3] = 3/9
f = 1/7 = [142857] = 142857/999999
f = 0.201320132013... = [2013] = 2013/9999
Quelques conséquences
- Il est facile de diviser par les nombres du type 99..9 puisque la fraction résultante est connue :
- 4/9 = 0.44444... = [4]
- 7/9 = 0.77777... = [7]
- 43/99 = 0.43434343... = [43]
- 463746178/999999999 = 0.463746178463746178463746178...
- ...
- si f = 1/p = [a1...ak] avec p un nombre entier, alors p divise 9192..9k.
- En effet si 1/p = [a1...ak] alors 1/p = n/9192..9k et donc 9192..9k/p = n (avec n = a1...ak).
- En particulier :
- 7 divise 999999 puisque 1/7 = [142857]
- 13 divise 999999 puise 1/13 = [076923]
Conclusions
Ressources
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