Nombre de vendredi 13
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Sommaire |
Nombre de vendredi 13
But
Déterminer le nombre maximal de vendredi 13 par an.
Introduction
La détermination du jour du n-ème jour du mois est similaire à la détermination du 13-ème jour du mois pour n <= 28 pour les années non bissextiles et n <= 29 pour les années bissextiles.
Résultats
Année non bissextile
Pour une année non bissextile :
| mois | décalage par rapport au 1er janvier, pour le mois | décalage par rapport au 1er janvier modulo 7, pour le mois | décalage cumulé modulo 7 |
|---|---|---|---|
| Janvier | n - 1 | (n - 1) modulo 7 = m | m |
| Février | (31 - n) + n = 31 | 3 | m + 3 |
| Mars | (28 - n) + n = 28 | 0 | m + 3 |
| Avril | 31 | 3 | m + 6 |
| Mai | 30 | 2 | m + 1 |
| Juin | 31 | 3 | m + 4 |
| Juillet | 30 | 2 | m + 6 |
| Août | 31 | 3 | m + 2 |
| Septembre | 31 | 3 | m + 5 |
| Octobre | 30 | 2 | m |
| Novembre | 31 | 3 | m + 3 |
| Décembre | 30 | 2 | m + 5 |
| catégorie | nombre | mois concernés |
|---|---|---|
| m | 2 | Janvier, Octobre |
| m + 1 | 1 | Mai |
| m + 2 | 1 | Août |
| m + 3 | 3 | Février, Mars, Novembre |
| m + 4 | 1 | Juin |
| m + 5 | 2 | Septembre, Décembre |
| m + 6 | 2 | Avril, Juillet |
Année bissextile
Pour une année bissextile :
| mois | décalage par rapport au 1er janvier, pour le mois | décalage par rapport au 1er janvier modulo 7, pour le mois | décalage cumulé modulo 7 |
|---|---|---|---|
| Janvier | n - 1 | (n - 1) modulo 7 = m | m |
| Février | (31 - n) + n = 31 | 3 | m + 3 |
| Mars | (29 - n) + n = 29 | 1 | m + 4 |
| Avril | 31 | 3 | m |
| Mai | 30 | 2 | m + 2 |
| Juin | 31 | 3 | m + 5 |
| Juillet | 30 | 2 | m |
| Août | 31 | 3 | m + 3 |
| Septembre | 31 | 3 | m + 6 |
| Octobre | 30 | 2 | m + 1 |
| Novembre | 31 | 3 | m + 4 |
| Décembre | 30 | 2 | m + 6 |
| catégorie | nombre | mois concernés |
|---|---|---|
| m | 3 | Janvier, Avril, Juillet |
| m + 1 | 1 | Octobre |
| m + 2 | 1 | Mai |
| m + 3 | 2 | Février, Août |
| m + 4 | 2 | Mars, Novembre |
| m + 5 | 1 | Juin |
| m + 6 | 2 | Septembre, Décembre |
Cas particulier n = 13
Si n = 13, m = (n -1) modulo 7 = 12 modulo 7 = 5
Si k est le jour du premier janvier, avec 1 pour lundi et 0 pour dimanche, la catégorie v des vendredi 13 est la suivante :
(m + v + k) modulo 7 = 5 (5 + v + k) modulo 7 = 5 (v + k) modulo 7 = 0 v = -k modulo 7
| jour du 1er janvier | lundi | mardi | mercredi | jeudi | vendredi | samedi | dimanche |
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 |
| v = -k modulo 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| nombre de vendredi 13 pour une année non bissextile | 2 | 2 | 1 | 3 | 1 | 1 | 2 |
| mois concernés | Avril, Juillet | Septembre, Décembre | Juin | Février, Mars, Novembre | Août | Mai | Janvier, Octobre |
| nombre de vendredi 13 pour une année bissextile | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 3 |
| mois concernés | Septembre, Décembre | Juin | Mars, Novembre | Février, Août | Mai | Octobre | Janvier, Avril, Juillet |
Conclusions
Un jour du mois n (n<=28 pour une année non bissextile et n<=29 pour une année bissextile) apparaît au moins une fois dans l'année dans chaque jour de la semaine et il apparaît 3 fois dans un seul des jours de la semaine.
En particulier, il y a au moins un vendredi 13 par an et au maximum 3 vendredi 13 par an, que l'année soit bissextile ou non.
Le nombre maximal de vendredi 13 a lieu si le 1er janvier est un jeudi pour une année non bissextile ou si le 1er janvier est un dimanche pour une année bissextile.
En particulier, le 1er janvier 2009 est un jeudi et a donc 3 vendredi 13, en février, mars et novembre.
Le 1er janvier 2012 sera un dimanche et aura donc aussi 3 vendredi 13 en janvier, avril et juillet.
Ressources
- Il s'avère que Wikipedia dispose d'un article sur Vendredi treize qui rejoint les conclusions de cet article.
- Voir aussi Friday the 13th sur Wikipedia.
