Fraction générant son développement numérique

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Sommaire

Fraction générant son développement numérique

But

Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... répétant le nombre n=a1a2...ak-1ak où ai pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.

Introduction

Notation

Pour simplifier l'écriture, la fraction f=0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... pourra aussi être notée : f=[a1...ak] avec ai pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.

Construction de f

La construction de f est simple, si n = a1a2...ak-1ak alors f = n*0.00..0100..01...=n*0.0102...0k-11k0102...0k-11k... = n*[01...0k-11k]=n*[0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.

Ou f = n*(1/10k+1/102*k+...) = n*(x+x2+x3+...) pour x = 1/10k.

Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x2+x3+... si |x|<1.

Alors x+x2+x3+... = 1/(1-x)-1 = x/(1-x).

Appliqué au f précédent :

avec x = 1/10k f = n*x/(1-x) = n*1/(1/x-1) = n/(10k-1).

Donc f = n/(10k-1).


Et, pour être plus explicite, 10k-1 = 999..99k soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f=[a1...ak] :

f = n/(10k-1) = n/9192..9k

Résultats

Conclusions

Ressources

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