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Sommaire 1 Fraction générant son développement numérique 1.1 But 1.2 Introduction 1.2.1 Notation 1.2.2 Construction de f 1.3 Résultats 1.4 Conclusions 1.5 Ressources

Fraction générant son développement numérique

But

Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a₁a₂...a_k-1a_ka₁a₂...a_k-1a_k... répétant le nombre n=a₁a₂...a_k-1a_k où a_i pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.

Introduction

Notation

Pour simplifier l'écriture, la fraction f=0.a₁a₂...a_k-1a_ka₁a₂...a_k-1a_k... sera notée : f=[a₁...a_k] avec a_i pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.

Construction de f

La construction de f est simple, si n=a₁a₂...a_k-1a_k alors f=n*0.00..0100..01...=n*0.0₁0₂...0_k-11_k0₁0₂...0_k-11_k... = n*[0₁...0_k-11_k]=n*[0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.

Où f=n*(1/10^k+1/10^2*k+...)=n*(x+x²+x³+...) pour x=1/10^k.

Et, comme 1/(1-x)=1+x+x²+x³+... si |x|<1.

Alors x+x²+x³+...=1/(1-x)-1=x/(1-x).

Appliqué au f précédent :

avec x=1/10k f=n*x/(1-x)=n*1/(1/x-1)=n/(10k>-1).

Résultats

Conclusions

Ressources

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