Crédit, intérêt et primes
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But
Déterminer l'intérêt d'un crédit ainsi que la prime à rembourser mensuellement en fonction du taux d'intérêt et du nombre de mensualités pour le remboursement du crédit.
Introduction
Soit les définitions de variables suivantes :
| M | Montant du crédit |
| t | taux annuel d'intérêt du crédit |
| m | nombre de mensualités du crédit |
| P | prime mensuelle pour le remboursement du crédit |
Préliminaires
Un montant M est placé durant une année à au taux d'intérêt annuel t, alors le montant Mannuel à la fin de l'année est :
Mannuel = M ( 1 + t )
Si le montant M est placé durant un mois à un taux d'intérêt annuel t, alors le montant Mmensuel à la fin du mois est :
Mmensuel = M ( 1 + t ) (1/12)
Et, au fil des mois, et sur 12 mois nous avons :
Mannuel = M ( 1 + t ) (1/12)( 1 + t ) (1/12) ...( 1 + t ) (1/12) = M (( 1 + t ) (1/12))12 = M ( 1 + t )
Pour simplifier la notation posons donc :
α = ( 1 + t ) (1/12)
Nous avons alors :
Mmensuel = M α Mannuel = M α12
Prime du crédit
Pour en revenir au crédit, soit un crédit M prêté au taux d'intérêt annuel t durant m mensualité. Et soit P la prime à payer à priori inconnue.
L'idée est simple, initialement, à la mensualité k = 0, le montant à disposition est M.
Après un mois (k = 1), le montant initial M prêté au taux d'intérêt t est devenu M α et nous avons payé la prime P. Le montant a disposition devient donc M α - P.
Au mois suivant (k = 2), le montant à disposition (M α - P) prêté au taux d'intérêt t est devenu (M α - P) α et nous avons payé la prime P. Le nouveau montant à disposition devient donc (M α - P) α - P
En continuent ainsi :
Mk+1 = Mk α - P (pour k ≥ 0) avec M0 = M
En développant la série :
| k | Montant disponible |
| 0 | M |
| 1 | M α - P |
| 2 | ( M α - P ) α - P = M α2 - P ( 1 + α ) |
| 3 | ( M α2 - P ( 1 + α ) ) α - P = M α3 - P ( 1 + α + α2 ) |
| k | Mk-1 α - P |
| n | M αn - P ( 1 + α + α2 + ... + αn ) = M αn - P ( α n+1 - 1 ) / ( α - 1 ) |
Et après m mensualités, le montant à disposition est nul et donc
M αm - P ( α m+1 - 1 ) / ( α - 1 ) = 0
ou
P = M αm ( α - 1 ) / ( α m+1 - 1 )
qui est le montant de la prime recherchée.
Intérêts du crédit
Quel est alors l'intérêt du crédit ?
Pour rembourser le crédit M, il a fallu payer m mensualités de primes P.
L'intérêt du crédit est donc
I = m P - M = m M αm ( α - 1 ) / ( α m+1 - 1 ) - M = M [ m αm ( α - 1 ) / ( α m+1 - 1 ) - 1 ]
