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Version du 15 juin 2016 à 12:47

But

Déterminer l'intérêt d'un crédit ainsi que la prime à rembourser mensuellement en fonction du taux d'intérêt et du nombre de mensualités pour le remboursement du crédit.

Introduction

Soit les définitions de variables suivantes :

Préliminaires

Un montant M est placé durant une année à au taux d'intérêt annuel t, alors le montant M_annuel à la fin de l'année est :

Mannuel = M ( 1 + t )

Si le montant M est placé durant un mois à un taux d'intérêt annuel t, alors le montant M_mensuel à la fin du mois est :

Mmensuel = M ( 1 + t ) (1/12)

Et, au fil des mois, et sur 12 mois nous avons :

Mannuel = M ( 1 + t ) (1/12)( 1 + t ) (1/12) ...( 1 + t ) (1/12) = M (( 1 + t ) (1/12))12 = M ( 1 + t )

Pour simplifier la notation posons donc :

α = ( 1 + t ) (1/12)

Nous avons alors :

Mmensuel = M α
Mannuel = M α12

Prime du crédit

Pour en revenir au crédit, soit un crédit M prêté au taux d'intérêt annuel t durant m mensualités. Et soit P la prime à payer à priori inconnue.

L'idée est simple, initialement, à la mensualité k = 0, le montant du crédit est -M.

Après un mois (k = 1), le crédit initial M prêté au taux d'intérêt t est devenu -M α et nous avons remboursé le crédit en versant la prime P. Le montant du crédit devient donc -M α + P.

Au mois suivant (k = 2), le montant du crédit (-M α + P) prêté au taux d'intérêt t devient (-M α + P) α et nous avons versé la prime P. Le nouveau montant du crédit devient donc (-M α + P) α + P

En continuant ainsi :

-Mk+1 = -Mk α + P (pour k ≥ 0) avec -M0 = -M

En développant la série :

Et après m mensualités, le montant du crédit est nul et donc

-M αm + P ( α m - 1 ) / ( α - 1 ) = 0

ou

(1) P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 )

qui est le montant de la prime recherché.

Intérêt du crédit

Quel est alors l'intérêt du crédit ?

Pour rembourser le crédit M, il a fallu payer m mensualités de prime P.

L'intérêt du crédit est donc

(2) I = m P - M
(2') I = m M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) - M = M [ m αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) - 1 ]

Cas particuliers

Cas particulier du taux d'intérêt nul

Pour vérification, vérifions le cas du taux d'intérêt nul.

Si le taux d'intérêt est très faible, le développement de αⁿ est

αn = ( 1 + t )( n/12 ) = 1 + n t / 12 + O( t2 ) = 1 + n β t + O( t2 ) si t ≅ 0 et avec β = 1/12

Alors la prime P (1) devient

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) ≅ M ( 1 + m β t ) ( 1 + β t - 1 ) / ( 1 + m β t - 1 ) ≅ M (1 + m β t) / m ≅ M / m si t ≅ 0

Nous avons bien que la prime se résume au montant M divisé par le nombre de mensualités.

Et l'intérêt (2) est bien nul.

I = m P - M = m M / m - M = 0

Cas particulier d'une unique mensualité

Si m = 1, la prime P (1) vaut

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) = M α ( α - 1 ) / ( α - 1 ) = M α

et l'intérêt (2) est bien celui attendu

I = m P - M = M α - M = M ( α - 1 )

Cas particulier d'un grand nombre de mensualités à un taux non nul

Si le taux d'intérêt est non nul et le nombre de mensualités grand, alors comme

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 )

on a

αm / ( α m - 1 ) → 1 si m grand et t > 0

et donc

P → M ( α - 1 ) si m grand et t > 0

En d'autres termes, la prime P à rembourser tend vers l'intérêt mensuel I = M ( α - 1 ) (cas particulier d'une unique mensualité).

Mais quel est l'ordre de grandeur associé à m grand ?

Posons

αm / ( α m - 1 ) ≤ 1 + ε

avec ε un nombre positif proche de zéro.

Alors

1 / ( 1 - 1 / αm ) ≤ 1 + ε
1 / ( 1 + ε ) ≤ 1 - 1 / αm
1 / αm ≤ 1 - 1 / ( 1 + ε ) = ε / ( 1 + ε )
( 1 + ε ) / ε ≤ αm
ln [ ( 1 + ε ) / ε ] ≤ m ln α
ln [ ( 1 + ε ) / ε ] / ln α ≤ m

donc

m ≥ ln [ ( 1 + ε ) / ε ] / ln α

On voit bien que plus ε et / ou le taux d'intérêt (et donc α) est / sont petit(s) et plus m est grand.

Proportionnalités

Les équations de la prime P (1) et de l'intérêt I (2) et (2') montrent que les rapports P / M et I / M ne dépendent que du nombre de mensualités et du taux d'intérêt.

Cela signifie en particulier que si le montant d'un crédit double, la prime et l'intérêt doubles aussi.

Résultats

Conclusions

Ressources