Crédit, intérêt et primes

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m (→Intérêts du crédit)
(→Prime du crédit)
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Pour en revenir au crédit, soit un crédit M prêté au taux d'intérêt annuel t durant m mensualités. Et soit P la prime à payer à priori inconnue.
Pour en revenir au crédit, soit un crédit M prêté au taux d'intérêt annuel t durant m mensualités. Et soit P la prime à payer à priori inconnue.
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L'idée est simple, initialement, à la mensualité k = 0, le montant à disposition est M.
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L'idée est simple, initialement, à la mensualité k = 0, le montant du crédit est -M.
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Après un mois (k = 1), le montant initial M prêté au taux d'intérêt t est devenu M α et nous avons payé la prime P. Le montant a disposition devient donc M α - P.
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Après un mois (k = 1), le crédit initial M prêté au taux d'intérêt t est devenu -M α et nous avons remboursé le crédit en versant la prime P. Le montant du crédit devient donc -M α + P.
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Au mois suivant (k = 2), le montant à disposition (M α - P) prêté au taux d'intérêt t est devenu (M α - P) α et nous avons payé la prime P. Le nouveau montant à disposition devient donc (M α - P) α - P
+
Au mois suivant (k = 2), le montant du crédit (-M α + P) prêté au taux d'intérêt t devient (-M α + P) α et nous avons versé la prime P. Le nouveau montant du crédit devient donc (-M α + P) α + P
En continuant ainsi :
En continuant ainsi :
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M<sub>k+1</sub> = M<sub>k</sub> &alpha; - P (pour k &ge; 0) avec M<sub>0</sub> = M
+
-M<sub>k+1</sub> = -M<sub>k</sub> &alpha; + P (pour k &ge; 0) avec M<sub>0</sub> = -M
En développant la série :
En développant la série :
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{| border="1" cellpadding="10"
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| '''k''' || '''Montant disponible'''
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| '''k''' || '''Montant du crédit'''
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| 0 || M
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| 0 || -M
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| 1 || M &alpha; - P
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| 1 || -M &alpha; + P
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| 2 || ( M &alpha; - P ) &alpha; - P = M &alpha;<sup>2</sup> - P ( 1 + &alpha; )
+
| 2 || ( -M &alpha; + P ) &alpha; + P = -M &alpha;<sup>2</sup> + P ( 1 + &alpha; )
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| 3 || ( M &alpha;<sup>2</sup> - P ( 1 + &alpha; ) ) &alpha; - P = M &alpha;<sup>3</sup> - P ( 1 + &alpha; + &alpha;<sup>2</sup> )
+
| 3 || ( -M &alpha;<sup>2</sup> + P ( 1 + &alpha; ) ) &alpha; + P = -M &alpha;<sup>3</sup> + P ( 1 + &alpha; + &alpha;<sup>2</sup> )
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| k || M<sub>k-1</sub> &alpha; - P
+
| k || -M<sub>k-1</sub> &alpha; + P
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| n || M &alpha;<sup>n</sup> - P ( 1 + &alpha; + &alpha;<sup>2</sup> + ... + &alpha;<sup>n</sup> ) = M &alpha;<sup>n</sup> - P ( &alpha; <sup>n+1</sup> - 1 ) / ( &alpha; - 1 )
+
| n || -M &alpha;<sup>n</sup> + P ( 1 + &alpha; + &alpha;<sup>2</sup> + ... + &alpha;<sup>n-1</sup> ) = -M &alpha;<sup>n</sup> + P ( &alpha; <sup>n</sup> - 1 ) / ( &alpha; - 1 )
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Et après m mensualités, le montant à disposition est nul et donc
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Et après m mensualités, le montant du crédit est nul et donc
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M &alpha;<sup>m</sup> - P ( &alpha; <sup>m+1</sup> - 1 ) / ( &alpha; - 1 ) = 0
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-M &alpha;<sup>m</sup> + P ( &alpha; <sup>m</sup> - 1 ) / ( &alpha; - 1 ) = 0
ou
ou
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P = M &alpha;<sup>m</sup> ( &alpha; - 1 ) / ( &alpha; <sup>m+1</sup> - 1 )
+
P = M &alpha;<sup>m</sup> ( &alpha; - 1 ) / ( &alpha; <sup>m</sup> - 1 )
qui est le montant de la prime recherché.
qui est le montant de la prime recherché.

Version du 13 juin 2016 à 19:29

Sommaire

But

Déterminer l'intérêt d'un crédit ainsi que la prime à rembourser mensuellement en fonction du taux d'intérêt et du nombre de mensualités pour le remboursement du crédit.

Introduction

Soit les définitions de variables suivantes :

M Montant du crédit
t taux annuel d'intérêt du crédit
m nombre de mensualités du crédit
P prime mensuelle pour le remboursement du crédit

Préliminaires

Un montant M est placé durant une année à au taux d'intérêt annuel t, alors le montant Mannuel à la fin de l'année est : 

Mannuel = M ( 1 + t )

Si le montant M est placé durant un mois à un taux d'intérêt annuel t, alors le montant Mmensuel à la fin du mois est : 

Mmensuel = M ( 1 + t ) (1/12)

Et, au fil des mois, et sur 12 mois nous avons : 

Mannuel = M ( 1 + t ) (1/12)( 1 + t ) (1/12) ...( 1 + t ) (1/12) = M (( 1 + t ) (1/12))12 = M ( 1 + t )

Pour simplifier la notation posons donc : 

α = ( 1 + t ) (1/12)

Nous avons alors : 

Mmensuel = M α
Mannuel = M α12

Prime du crédit

Pour en revenir au crédit, soit un crédit M prêté au taux d'intérêt annuel t durant m mensualités. Et soit P la prime à payer à priori inconnue.

L'idée est simple, initialement, à la mensualité k = 0, le montant du crédit est -M.

Après un mois (k = 1), le crédit initial M prêté au taux d'intérêt t est devenu -M α et nous avons remboursé le crédit en versant la prime P. Le montant du crédit devient donc -M α + P.

Au mois suivant (k = 2), le montant du crédit (-M α + P) prêté au taux d'intérêt t devient (-M α + P) α et nous avons versé la prime P. Le nouveau montant du crédit devient donc (-M α + P) α + P

En continuant ainsi : 

-Mk+1 = -Mk α + P (pour k ≥ 0) avec M0 = -M

En développant la série :

k Montant du crédit
0 -M
1 -M α + P
2 ( -M α + P ) α + P = -M α2 + P ( 1 + α )
3 ( -M α2 + P ( 1 + α ) ) α + P = -M α3 + P ( 1 + α + α2 )
k -Mk-1 α + P
n -M αn + P ( 1 + α + α2 + ... + αn-1 ) = -M αn + P ( α n - 1 ) / ( α - 1 )

Et après m mensualités, le montant du crédit est nul et donc 

-M αm + P ( α m - 1 ) / ( α - 1 ) = 0

ou 

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 )

qui est le montant de la prime recherché.

Intérêt du crédit

Quel est alors l'intérêt du crédit ?

Pour rembourser le crédit M, il a fallu payer m mensualités de prime P.

L'intérêt du crédit est donc 

I = m P - M = m M αm ( α - 1 ) / ( α m+1 - 1 ) - M = M [ m αm ( α - 1 ) / ( α m+1 - 1 ) - 1 ]

Résultats

Conclusions

Ressources

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