Crédit, intérêt et primes
Un article de Wikipedia.
(→Crédit) |
(→Crédit) |
||
| Ligne 67 : | Ligne 67 : | ||
| 3 || ( M α<sup>2</sup> - P ( 1 + α ) ) α - P = M α<sup>3</sup> - P ( 1 + α + α<sup>2</sup> ) | | 3 || ( M α<sup>2</sup> - P ( 1 + α ) ) α - P = M α<sup>3</sup> - P ( 1 + α + α<sup>2</sup> ) | ||
|- | |- | ||
| - | | ... || M<sub>k+1</sub> = M<sub>k</sub> α - P | + | | ... || M α<sub>k+1</sub> = M<sub>k</sub> α - P |
|- | |- | ||
| - | | n || M sub>n</sub> - P ( 1 + α + α<sup>2</sup> + ... + <sup>n</sup> ) = M sub>n</sub> - P ( α <sup>n+1</sup> - 1 ) / ( α - 1 ) | + | | n || M α<sub>n</sub> - P ( 1 + α + α<sup>2</sup> + ... + <sup>n</sup> ) = M α<sub>n</sub> - P ( α <sup>n+1</sup> - 1 ) / ( α - 1 ) |
|} | |} | ||
| + | |||
| + | Et après m mensualités, le montant à disposition est nul et donc | ||
| + | |||
| + | M α<sub>m</sub> - P ( α <sup>m+1</sup> - 1 ) / ( α - 1 ) = 0 | ||
| + | |||
| + | ou | ||
| + | |||
| + | P = M α<sub>m</sub> ( α - 1 ) / ( α <sup>m+1</sup> - 1 ) | ||
| + | |||
| + | qui est le montant de la prime recherchée. | ||
== Résultats == | == Résultats == | ||
Version du 13 juin 2016 à 05:57
Sommaire |
Timer
But
Déterminer l'intérêt d'un crédit ainsi que la prime à rembourser mensuellement en fonction du taux d'intérêt et du nombre de mensualités pour le remboursement du crédit.
Introduction
Soit les définitions de variables suivantes :
| M | Montant du crédit |
| t | taux annuel d'intérêt du crédit |
| m | nombre de mensualités du crédit |
| P | prime mensuelle pour le remboursement du crédit |
Préliminaires
Un montant M est placé durant une année à au taux d'intérêt annuel t, alors le montant Mannuel à la fin de l'année est :
Mannuel = M ( 1 + t )
Si le montant M est placé durant un mois à un taux d'intérêt annuel t, alors le montant Mmensuel à la fin du mois est :
Mmensuel = M ( 1 + t ) (1/12)
Et, au fil des mois, et sur 12 mois nous avons :
Mannuel = M (( 1 + t ) (1/12))12 = M ( 1 + t )
Pour simplifier la notation posons donc :
α = ( 1 + t ) (1/12)
Nous avons alors :
Mmensuel = M α Mannuel = M α12
Crédit
Pour en revenir au crédit, soit un crédit M prêté au taux d'intérêt annuel t durant m mensualité. Et soit P la prime à payer à priori inconnue.
L'idée est simple, initialement, à la mensualité k = 0, le montant à disposition est M.
Après un mois (k = 1), le montant initial M prêté au taux d'intérêt t est devenu M α et nous avons payé la prime P. Le montant a disposition devient donc M α - P.
Au mois suivant (k = 2), le montant à disposition (M α - P) prêté au taux d'intérêt t est devenu (M α - P) α et nous avons payé la prime P. Le nouveau montant à disposition devient donc (M α - P) α - P
En continuent ainsi :
Mk+1 = Mk α - P (pour k ≥ 0) avec M0 = M
En développant la série :
| k | Montant disponible |
| 0 | M |
| 1 | M α - P |
| 2 | ( M α - P ) α - P = M α2 - P ( 1 + α ) |
| 3 | ( M α2 - P ( 1 + α ) ) α - P = M α3 - P ( 1 + α + α2 ) |
| ... | M αk+1 = Mk α - P |
| n | M αn - P ( 1 + α + α2 + ... + n ) = M αn - P ( α n+1 - 1 ) / ( α - 1 ) |
Et après m mensualités, le montant à disposition est nul et donc
M αm - P ( α m+1 - 1 ) / ( α - 1 ) = 0
ou
P = M αm ( α - 1 ) / ( α m+1 - 1 )
qui est le montant de la prime recherchée.
