Fraction générant son développement numérique
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| - | La construction de f est simple, si n = a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>k-1</sub>a<sub>k</sub> alors f = n*0.00..0100..01...=n*0.0<sub>1</sub>0<sub>2</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>0<sub>1</sub>0<sub>2</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>... = n*[0<sub>1</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>]=n*[0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1. | + | La construction de f est simple, si n = a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>k-1</sub>a<sub>k</sub> alors f = n * 0.00..0100..01... = n * 0.0<sub>1</sub>0<sub>2</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>0<sub>1</sub>0<sub>2</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>... = n*[0<sub>1</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>]=n*[0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1. |
| - | Ou f = n*(1/10<sup>k</sup>+1/10<sup>2*k</sup>+...) = n*(x+x<sup>2</sup>+x<sup>3</sup>+...) pour x = 1/10<sup>k</sup>. | + | Ou f = n * (1/10<sup>k</sup>+1/10<sup>2*k</sup>+...) = n * (x+x<sup>2</sup>+x<sup>3</sup>+...) pour x = 1/10<sup>k</sup>. |
Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x<sup>2</sup>+x<sup>3</sup>+... si |x|<1. | Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x<sup>2</sup>+x<sup>3</sup>+... si |x|<1. | ||
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Appliqué au f précédent : | Appliqué au f précédent : | ||
| - | avec x = 1/10<sup>k</sup> f = n*x/(1-x) = n*1/(1/x-1) = n/(10<sup>k</sup>-1). | + | avec x = 1/10<sup>k</sup> f = n * x/(1-x) = n*1/(1/x-1) = n/(10<sup>k</sup>-1). |
| - | Donc '''f = n/(10<sup>k</sup>-1)'''. | + | Donc '''f = n / (10<sup>k</sup>-1)'''. |
| - | Et, pour être plus explicite, 10<sup>k</sup>-1 = 999..99<sub>k</sub> soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f=[a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] : | + | Et, pour être plus explicite, 10<sup>k</sup>-1 = 999..99<sub>k</sub> soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f = [a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] : |
| - | '''f = n/(10<sup>k</sup>-1) = n/9<sub>1</sub>9<sub>2</sub>..9<sub>k</sub>''' | + | '''f = n / (10<sup>k</sup>-1) = n / 9<sub>1</sub>9<sub>2</sub>..9<sub>k</sub>''' |
== Résultats == | == Résultats == | ||
Version du 13 juillet 2013 à 06:42
Sommaire |
Fraction générant son développement numérique
But
Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... répétant le nombre n=a1a2...ak-1ak où ai pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.
Introduction
Notation
Pour simplifier l'écriture, la fraction f=0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... pourra aussi être notée : f=[a1...ak] avec ai pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.
Construction de f
La construction de f est simple, si n = a1a2...ak-1ak alors f = n * 0.00..0100..01... = n * 0.0102...0k-11k0102...0k-11k... = n*[01...0k-11k]=n*[0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.
Ou f = n * (1/10k+1/102*k+...) = n * (x+x2+x3+...) pour x = 1/10k.
Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x2+x3+... si |x|<1.
Alors x+x2+x3+... = 1/(1-x)-1 = x/(1-x).
Appliqué au f précédent :
avec x = 1/10k f = n * x/(1-x) = n*1/(1/x-1) = n/(10k-1).
Donc f = n / (10k-1).
Et, pour être plus explicite, 10k-1 = 999..99k soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f = [a1...ak] :
f = n / (10k-1) = n / 9192..9k
Résultats
Conclusions
Ressources
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