Fraction générant son développement numérique
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Pour simplifier l'écriture, la fraction f=0.a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>k-1</sub>a<sub>k</sub>a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>k-1</sub>a<sub>k</sub>... sera notée : f=[a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] avec a<sub>i</sub> pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9. | Pour simplifier l'écriture, la fraction f=0.a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>k-1</sub>a<sub>k</sub>a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>k-1</sub>a<sub>k</sub>... sera notée : f=[a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] avec a<sub>i</sub> pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9. | ||
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La construction de f est simple, si n=a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>k-1</sub>a<sub>k</sub> alors f=n*0.00..0100..01...=n*0.0<sub>1</sub>0<sub>2</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>0<sub>1</sub>0<sub>2</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>... = n*[0<sub>1</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>]=n*[0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1. | La construction de f est simple, si n=a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>k-1</sub>a<sub>k</sub> alors f=n*0.00..0100..01...=n*0.0<sub>1</sub>0<sub>2</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>0<sub>1</sub>0<sub>2</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>... = n*[0<sub>1</sub>...0<sub>k-1</sub>1<sub>k</sub>]=n*[0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1. | ||
Version du 13 juillet 2013 à 06:24
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Fraction générant son développement numérique
But
Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... répétant le nombre n=a1a2...ak-1ak où ai pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.
Introduction
Notation
Pour simplifier l'écriture, la fraction f=0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... sera notée : f=[a1...ak] avec ai pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.
Construction de f
La construction de f est simple, si n=a1a2...ak-1ak alors f=n*0.00..0100..01...=n*0.0102...0k-11k0102...0k-11k... = n*[01...0k-11k]=n*[0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.
Où f=n*(1/10k+1/102*k+...)=n*(x+x2+x3+...) pour x=1/10k.
Et, comme 1/(1-x)=1+x+x2+x3+... si |x|<1.
Alors x+x2+x3+...=1/(1-x)-1=x/(1-x).
Appliqué au f précédent :
avec x=1/10k f=n*x/(1-x)=n*1/(1/x-1)=n/(10k>-1).
Résultats
Conclusions
Ressources
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