Nombre de vendredi 13

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Déterminer le nombre maximal de vendredi 13 par an.
Déterminer le nombre maximal de vendredi 13 par an.
== Introduction ==
== Introduction ==
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La détermination du jour du n-ème jour du mois est similaire à la détermination du 13-ème jour du mois pour n <= 28 pour les années non bisextiles et n <= 29 pour les années bisextiles.
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La détermination du jour du n-ème jour du mois est similaire à la détermination du 13-ème jour du mois pour n <= 28 pour les années non bissextiles et n <= 29 pour les années bissextiles.
== Résultats ==
== Résultats ==
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=== Année non bisextile ===
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=== Année non bissextile ===
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Pour une année non bisextile :
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Pour une année non bissextile :
{| border = "1" cellpadding = "10"
{| border = "1" cellpadding = "10"
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! mois !! décalage par rapport au premier jour du mois, pour le mois !! décalage par rapport au premier jour du mois modulo 7, pour le mois || décalage cumulé modulo 7
+
! mois !! décalage par rapport au 1er janvier, pour le mois !! décalage par rapport au 1er janvier modulo 7, pour le mois || décalage cumulé modulo 7
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| Janvier || n - 1 || (n - 1) modulo 7 = m || m
| Janvier || n - 1 || (n - 1) modulo 7 = m || m
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=== Année bisextile ===
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=== Année bissextile ===
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Pour une année bisextile :
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Pour une année bissextile :
{| border = "1" cellpadding = "10"
{| border = "1" cellpadding = "10"
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! mois !! décalage par rapport au premier jour du mois, pour le mois !! décalage par rapport au premier jour du mois modulo 7, pour le mois || décalage cumulé modulo 7
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! mois !! décalage par rapport au 1er janvier, pour le mois !! décalage par rapport au 1er janvier modulo 7, pour le mois || décalage cumulé modulo 7
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| Janvier || n - 1 || (n - 1) modulo 7 = m || m
| Janvier || n - 1 || (n - 1) modulo 7 = m || m
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! catégorie !! nombre !! mois concernés
! catégorie !! nombre !! mois concernés
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| m || 2 || Janvier, Octobre
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| m || 3 || Janvier, Avril, Juillet
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| m + 1 || 1 || Mai
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| m + 1 || 1 || Octobre
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| m + 2 || 1 || Août
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| m + 2 || 1 || Mai
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| m + 3 || 3 || Février, Mars, Novembre
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| m + 3 || 2 || Février, Août
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| m + 4 || 1 || Juin
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| m + 4 || 2 || Mars, Novembre
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| m + 5 || 2 || Septembre, Décembre
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| m + 5 || 1 || Juin
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| m + 6 || 2 || Avril, Juillet
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| m + 6 || 2 || Septembre, Décembre
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=== Cas particulier n = 13 ===
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Si n = 13, m = (n -1) modulo 7 = 12 modulo 7 = 5
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Si k est le jour du premier janvier, avec 1 pour lundi et 0 pour dimanche, la catégorie v des vendredi 13 est la suivante :
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(m + v + k) modulo 7 = 5
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(5 + v + k) modulo 7 = 5
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(v + k) modulo 7 = 0
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v = -k modulo 7
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| jour du 1er janvier || lundi || mardi || mercredi || jeudi || vendredi || samedi || dimanche
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| k || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 0
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| v = -k modulo 7 || 6 || 5 || 4 || 3 || 2 || 1 || 0
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| nombre de vendredi 13 pour une année non bissextile || 2 || 2 || 1 || 3 || 1 || 1 || 2
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| mois concernés || Avril, Juillet || Septembre, Décembre || Juin || Février, Mars, Novembre || Août || Mai || Janvier, Octobre
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| nombre de vendredi 13 pour une année bissextile || 2 || 1 || 2 || 2 || 1 || 1 || 3
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| mois concernés || Septembre, Décembre || Juin || Mars, Novembre || Février, Août || Mai || Octobre || Janvier, Avril, Juillet
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== Conclusions ==
== Conclusions ==
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Un jour du mois n (n<=28 pour une année non bissextile et n<=29 pour une année bissextile) apparaît au moins une fois dans l'année dans chaque jour de la semaine et il apparaît 3 fois dans un seul des jours de la semaine.
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En particulier, il y a au moins un vendredi 13 par an et au maximum 3 vendredi 13 par an, que l'année soit bissextile ou non.
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Le nombre maximal de vendredi 13 a lieu si le 1er janvier est un jeudi pour une année non bissextile ou si le 1er janvier est un dimanche pour une année bissextile.
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En particulier, le 1er janvier 2009 est un jeudi et a donc 3 vendredi 13, en février, mars et novembre.
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Le 1er janvier 2012 sera un dimanche et aura donc aussi 3 vendredi 13 en janvier, avril et juillet.
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== Ressources ==
== Ressources ==
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* Il s'avère que [http://fr.wikipedia.org Wikipedia] dispose d'un article sur [http://fr.wikipedia.org/wiki/Vendredi_13 Vendredi treize] qui rejoint les conclusions de cet article.
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* Voir aussi [http://en.wikipedia.org/wiki/Friday_the_13th Friday the 13th] sur [http://en.wikipedia.org Wikipedia].
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[[Category:Mathématique]]
[[Category:Divers]]
[[Category:Divers]]

Version actuelle

Sommaire

Nombre de vendredi 13

But

Déterminer le nombre maximal de vendredi 13 par an.

Introduction

La détermination du jour du n-ème jour du mois est similaire à la détermination du 13-ème jour du mois pour n <= 28 pour les années non bissextiles et n <= 29 pour les années bissextiles.

Résultats

Année non bissextile

Pour une année non bissextile :

mois décalage par rapport au 1er janvier, pour le mois décalage par rapport au 1er janvier modulo 7, pour le mois décalage cumulé modulo 7
Janvier n - 1 (n - 1) modulo 7 = m m
Février (31 - n) + n = 31 3 m + 3
Mars (28 - n) + n = 28 0 m + 3
Avril 31 3 m + 6
Mai 30 2 m + 1
Juin 31 3 m + 4
Juillet 30 2 m + 6
Août 31 3 m + 2
Septembre 31 3 m + 5
Octobre 30 2 m
Novembre 31 3 m + 3
Décembre 30 2 m + 5


catégorie nombre mois concernés
m 2 Janvier, Octobre
m + 1 1 Mai
m + 2 1 Août
m + 3 3 Février, Mars, Novembre
m + 4 1 Juin
m + 5 2 Septembre, Décembre
m + 6 2 Avril, Juillet

Année bissextile

Pour une année bissextile :

mois décalage par rapport au 1er janvier, pour le mois décalage par rapport au 1er janvier modulo 7, pour le mois décalage cumulé modulo 7
Janvier n - 1 (n - 1) modulo 7 = m m
Février (31 - n) + n = 31 3 m + 3
Mars (29 - n) + n = 29 1 m + 4
Avril 31 3 m
Mai 30 2 m + 2
Juin 31 3 m + 5
Juillet 30 2 m
Août 31 3 m + 3
Septembre 31 3 m + 6
Octobre 30 2 m + 1
Novembre 31 3 m + 4
Décembre 30 2 m + 6


catégorie nombre mois concernés
m 3 Janvier, Avril, Juillet
m + 1 1 Octobre
m + 2 1 Mai
m + 3 2 Février, Août
m + 4 2 Mars, Novembre
m + 5 1 Juin
m + 6 2 Septembre, Décembre

Cas particulier n = 13

Si n = 13, m = (n -1) modulo 7 = 12 modulo 7 = 5

Si k est le jour du premier janvier, avec 1 pour lundi et 0 pour dimanche, la catégorie v des vendredi 13 est la suivante : 

(m + v + k) modulo 7 = 5
(5 + v + k) modulo 7 = 5
(v + k) modulo 7  = 0
v = -k modulo 7


jour du 1er janvier lundi mardi mercredi jeudi vendredi samedi dimanche
k 1 2 3 4 5 6 0
v = -k modulo 7 6 5 4 3 2 1 0
nombre de vendredi 13 pour une année non bissextile 2 2 1 3 1 1 2
mois concernés Avril, Juillet Septembre, Décembre Juin Février, Mars, Novembre Août Mai Janvier, Octobre
nombre de vendredi 13 pour une année bissextile 2 1 2 2 1 1 3
mois concernés Septembre, Décembre Juin Mars, Novembre Février, Août Mai Octobre Janvier, Avril, Juillet

Conclusions

Un jour du mois n (n<=28 pour une année non bissextile et n<=29 pour une année bissextile) apparaît au moins une fois dans l'année dans chaque jour de la semaine et il apparaît 3 fois dans un seul des jours de la semaine.

En particulier, il y a au moins un vendredi 13 par an et au maximum 3 vendredi 13 par an, que l'année soit bissextile ou non.

Le nombre maximal de vendredi 13 a lieu si le 1er janvier est un jeudi pour une année non bissextile ou si le 1er janvier est un dimanche pour une année bissextile.

En particulier, le 1er janvier 2009 est un jeudi et a donc 3 vendredi 13, en février, mars et novembre.

Le 1er janvier 2012 sera un dimanche et aura donc aussi 3 vendredi 13 en janvier, avril et juillet.

Ressources

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