Fraction générant son développement numérique
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Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x<sup>2</sup>+x<sup>3</sup>+... si |x|<1. | Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x<sup>2</sup>+x<sup>3</sup>+... si |x|<1. | ||
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- | avec x = 1/10<sup>k</sup> f = n * x/(1-x) = n * 1/(1/x-1) = n / (10<sup>k</sup>-1). | + | avec x = 1/10<sup>k</sup> : f = n * x/(1-x) = n * 1/(1/x-1) = n / (10<sup>k</sup>-1). |
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Et, pour être plus explicite, 10<sup>k</sup>-1 = 999..99<sub>k</sub> soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f = [a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] : | Et, pour être plus explicite, 10<sup>k</sup>-1 = 999..99<sub>k</sub> soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f = [a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] : | ||
- | '''f = [a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] = n / (10<sup>k</sup>-1) = n / 9<sub>1</sub>9<sub>2</sub>..9<sub>k</sub> avec n = a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>''' | + | '''f = [a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] = n / (10<sup>k</sup>-1) = n / 9<sub>1</sub>9<sub>2</sub>..9<sub>k</sub> = a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub> / 9<sub>1</sub>...9<sub>k</sub> avec n = a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>''' |
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- | f = 1/7 = [142857] = 142857/999999 | + | f = 1/7 = [142857] = 142857 / 999999 |
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*** 17 divise 9'999'999'999'999'999 puisque 1/17 = [0588235294117647] | *** 17 divise 9'999'999'999'999'999 puisque 1/17 = [0588235294117647] | ||
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+ | * Un corollaire du cas précédent est le cas où p est un nombre premier plus grand que 3 (car 9 = 3<sup>2</sup>) : | ||
+ | ** si f = 1/p = [a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] avec p un nombre premier plus grand que 3, alors p divise 1<sub>1</sub>1<sub>2</sub>..1<sub>k</sub>. | ||
+ | *** En effet d'après le point précédent p divise 9<sub>1</sub>9<sub>2</sub>..9<sub>k</sub> = 9 * 1<sub>1</sub>1<sub>2</sub>..1<sub>k</sub> et p ne divise pas 9. | ||
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+ | **** 7 divise 111'111 puisque 1/7 = [142857] | ||
+ | **** 13 divise 111'111 puisque 1/13 = [076923] | ||
+ | **** 17 divise 1'111'111'111'111'111 puisque 1/17 = [0588235294117647] | ||
* Un peu plus ''drôle'' : | * Un peu plus ''drôle'' : | ||
- | ** Si f = 1/p = [a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] avec k pair, alors 1/p = n/9<sub>1</sub>9<sub>2</sub>..9<sub>2*m</sub>, avec k = 2 * m, et n = a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>, alors n * p = 9<sub>1</sub>9<sub>2</sub>..9<sub> | + | ** Si f = 1/p = [a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>] avec k pair, alors 1/p = n/9<sub>1</sub>9<sub>2</sub>..9<sub>2*m</sub>, avec k = 2 * m, et n = a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub>, alors n * p = 9<sub>1</sub>9<sub>2</sub>..9<sub>2*m</sub> = 99 * (01<sub>1</sub>01<sub>2</sub>...01<sub>m</sub>) où le dernier nombre est formé de m répétitions du groupe 01. |
** Ainsi, si p est premier et ne divise pas 3 ou 11 (99 = 3<sup>2</sup> * 11) alors n est un modulo de 99. | ** Ainsi, si p est premier et ne divise pas 3 ou 11 (99 = 3<sup>2</sup> * 11) alors n est un modulo de 99. | ||
- | ** | + | *** En effet, comme n = a<sub>1</sub>...a<sub>k</sub> = a<sub>1</sub>...a<sub>2*m</sub> = a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>2*m-1</sub>a<sub>2*m</sub> et que 10<sup>2*j</sup> modulo 99 = (10<sup>2</sup>)<sup>j</sup> modulo 99 = 1 pour j ≥ 1, alors : |
- | ** n modulo 99 = a<sub>1</sub>a<sub>2</sub> + a<sub>3</sub>a<sub>4</sub> + ... + a<sub>2*m-1</sub>...a<sub>2*m</sub> modulo 99 = 0, autrement dit, la somme des paires du nombre n du développement numérique de la fraction 1/p est un multiple de 99. | + | *** n modulo 99 = a<sub>1</sub>a<sub>2</sub> + a<sub>3</sub>a<sub>4</sub> + ... + a<sub>2*m-1</sub>...a<sub>2*m</sub> modulo 99 = 0, autrement dit, la somme des paires du nombre n du développement numérique de la fraction 1/p est un multiple de 99. |
- | ** Exemples : | + | *** Exemples : |
- | *** 1/7 = [142857]. Et nous avons bien : 14 + 28 + 57 = 99 | + | **** 1/7 = [142857]. Et nous avons bien : 14 + 28 + 57 = 99 |
- | *** 1/13 = [076923]. Et 07 + 69 + 23 = 99 | + | **** 1/13 = [076923]. Et 07 + 69 + 23 = 99 |
- | *** 1/17 = [0588235294117647]. Et 05 + 88 + 23 + 52 + 94 + 11 + 76 + 47 = 396 = 4 * 99 | + | **** 1/17 = [0588235294117647]. Et 05 + 88 + 23 + 52 + 94 + 11 + 76 + 47 = 396 = 4 * 99 |
- | *** 1/19 = [052631578947368421]. Et 05 + 26 + 31 + 57 + 89 + 47 + 36 + 84 + 21 = 396 = 4 * 99 | + | **** 1/19 = [052631578947368421]. Et 05 + 26 + 31 + 57 + 89 + 47 + 36 + 84 + 21 = 396 = 4 * 99 |
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+ | * Et un corollaire de la remarque pécédente est que : puisque p ne divise pas 99, p (caractérisé selon la remarque précédente) divise 01<sub>1</sub>01<sub>2</sub>...01<sub>m</sub> où le dernier nombre est formé de m répétitions du groupe 01. | ||
+ | * Exemples : | ||
+ | ** 1/7 = [142857]. 7 divise 010101 = 10'101 | ||
+ | ** 1/13 = [076923]. 13 divise 010101 = 10'101 | ||
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+ | * Il est possible d'étendre ces dernières remarques en utilisant des groupes de 9 plus importants | ||
+ | * Exemples : | ||
+ | ** Cela fonctionne aussi avec des groupes de 999 (= 3<sup>3</sup> * 37, donc 37 est aussi exclu) | ||
+ | *** 1/7 = [142857]. Et nous avons bien : 142 + 857 = 999 | ||
+ | *** 1/13 = [076923]. Et 076 + 923 = 999 | ||
+ | *** 1/19 = [052631578947368421]. Et 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 * 999 | ||
+ | *** 7 et 13 divisent 1001 | ||
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+ | ** Cela fonctionne aussi avec des groupes de 9999 (= 3<sup>2</sup> * 11 * 101, donc 11 et 101 sont aussi exlus) | ||
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+ | *** 19 divise 1000000001 = 1'000'000'001 | ||
+ | ** ... | ||
+ | * ou simplement à 9 | ||
+ | ** 1/7 = [142857]. Et 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 = 3 * 9 | ||
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+ | Tout cela se comprend mieux en se rappelant la propriété suivante : | ||
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+ | et en choisissant y = 10 on arrive à la notion de regroupement de k chiffres (pour k ≥ 1). | ||
== Conclusions == | == Conclusions == | ||
+ | Une idée simple qui débouche sur un résultat simple avec des conséquences inattendues. | ||
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+ | Le monde des entiers et des fractions est bien fascinant ! | ||
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== Ressources == | == Ressources == | ||
- | + | Je dois rendre à César ce qui est à César : | |
- | [Category:Divers]] | + | |
+ | L'idée du modulo de la somme des paires du développement d'une fraction provient d'un livre dont j'ai oublié le nom et que je n'avais jamais réussi à comprendre et à démontrer. | ||
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+ | [[Category:Mathématique]] | ||
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Fraction générant son développement numérique
But
Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... répétant le nombre n=a1a2...ak-1ak où ai pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.
Introduction
Notation
Pour simplifier l'écriture, la fraction f = 0.a1a2...ak-1aka1a2...ak-1ak... pourra aussi être notée : f = [a1...ak] avec ai pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.
Construction de f
La construction de f est simple, si n = a1a2...ak-1ak alors f = n * 0.00..0100..01... = n * 0.0102...0k-11k0102...0k-11k... = n*[01...0k-11k] = n * [0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.
Ou f = n * (1/10k+1/102*k+...) = n * (x+x2+x3+...) pour x = 1/10k.
Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x2+x3+... si |x|<1.
Alors x+x2+x3+... = x * (1+x+x2+x3+...) = x/(1-x).
Appliqué au f précédent :
avec x = 1/10k : f = n * x/(1-x) = n * 1/(1/x-1) = n / (10k-1).
Donc f = n / (10k-1).
Et, pour être plus explicite, 10k-1 = 999..99k soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f = [a1...ak] :
f = [a1...ak] = n / (10k-1) = n / 9192..9k = a1...ak / 91...9k avec n = a1...ak
Résultats
Ainsi, avec le résultat précédemment acquis :
f = 1/3 = 0.3333... = [3] = 3 / 9
f = 1/7 = [142857] = 142857 / 999999
f = 0.201320132013... = [2013] = 2013 / 9999
Quelques conséquences
- 0.999999... = [9] = 9 / 9 = 1 !
- Il est facile de diviser par les nombres du type 99..9 puisque le développement numérique de la fraction résultante est connu :
- 4 / 9 = 0.44444... = [4]
- 7 / 9 = 0.77777... = [7]
- 43 / 99 = 0.43434343... = [43]
- 463746178 / 999999999 = 0.463746178463746178463746178... = [463746178]
- ...
- si f = 1/p = [a1...ak] avec p un nombre entier, alors p divise 9192..9k.
- En effet si 1/p = [a1...ak] alors 1/p = n/9192..9k et donc 9192..9k/p = n (avec n = a1...ak).
- En particulier :
- 7 divise 999'999 puisque 1/7 = [142857]
- 13 divise 999'999 puisque 1/13 = [076923]
- 17 divise 9'999'999'999'999'999 puisque 1/17 = [0588235294117647]
- Un corollaire du cas précédent est le cas où p est un nombre premier plus grand que 3 (car 9 = 32) :
- si f = 1/p = [a1...ak] avec p un nombre premier plus grand que 3, alors p divise 1112..1k.
- En effet d'après le point précédent p divise 9192..9k = 9 * 1112..1k et p ne divise pas 9.
- En particulier :
- 7 divise 111'111 puisque 1/7 = [142857]
- 13 divise 111'111 puisque 1/13 = [076923]
- 17 divise 1'111'111'111'111'111 puisque 1/17 = [0588235294117647]
- si f = 1/p = [a1...ak] avec p un nombre premier plus grand que 3, alors p divise 1112..1k.
- Un peu plus drôle :
- Si f = 1/p = [a1...ak] avec k pair, alors 1/p = n/9192..92*m, avec k = 2 * m, et n = a1...ak, alors n * p = 9192..92*m = 99 * (011012...01m) où le dernier nombre est formé de m répétitions du groupe 01.
- Ainsi, si p est premier et ne divise pas 3 ou 11 (99 = 32 * 11) alors n est un modulo de 99.
- En effet, comme n = a1...ak = a1...a2*m = a1a2...a2*m-1a2*m et que 102*j modulo 99 = (102)j modulo 99 = 1 pour j ≥ 1, alors :
- n modulo 99 = a1a2 + a3a4 + ... + a2*m-1...a2*m modulo 99 = 0, autrement dit, la somme des paires du nombre n du développement numérique de la fraction 1/p est un multiple de 99.
- Exemples :
- 1/7 = [142857]. Et nous avons bien : 14 + 28 + 57 = 99
- 1/13 = [076923]. Et 07 + 69 + 23 = 99
- 1/17 = [0588235294117647]. Et 05 + 88 + 23 + 52 + 94 + 11 + 76 + 47 = 396 = 4 * 99
- 1/19 = [052631578947368421]. Et 05 + 26 + 31 + 57 + 89 + 47 + 36 + 84 + 21 = 396 = 4 * 99
- Et un corollaire de la remarque pécédente est que : puisque p ne divise pas 99, p (caractérisé selon la remarque précédente) divise 011012...01m où le dernier nombre est formé de m répétitions du groupe 01.
- Exemples :
- 1/7 = [142857]. 7 divise 010101 = 10'101
- 1/13 = [076923]. 13 divise 010101 = 10'101
- 1/17 = [0588235294117647]. 17 divise 0101010101010101 = 101'010'101'010'101
- 1/19 = [052631578947368421]. 19 divise 010101010101010101 = 10'101'010'101'010'101
- Il est possible d'étendre ces dernières remarques en utilisant des groupes de 9 plus importants
- Exemples :
- Cela fonctionne aussi avec des groupes de 999 (= 33 * 37, donc 37 est aussi exclu)
- 1/7 = [142857]. Et nous avons bien : 142 + 857 = 999
- 1/13 = [076923]. Et 076 + 923 = 999
- 1/19 = [052631578947368421]. Et 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 * 999
- 7 et 13 divisent 1001
- 19 divise 1001001001001001 = 1'001'001'001'001'001
- Cela fonctionne aussi avec des groupes de 9999 (= 32 * 11 * 101, donc 11 et 101 sont aussi exlus)
- 1/17 = [0588235294117647]. Et 0588 + 2352 + 9411 + 7647 = 19998 = 2 * 9999
- 17 divise 1000100010001 = 1'000'100'010'001
- Cela fonctionne aussi avec des groupes de 99'999'999 (= 32 * 11 * 73 * 101 * 137, donc 11, 73, 101 et 137 sont aussi exlus)
- 1/17 = [0588235294117647]. Et 05882352 + 94117647 = 99'999'999
- 17 divise 100000001 = 100'000'001
- Cela fonctionne aussi avec des groupes de 999'999'999 (= 34 * 37 * 333667, donc 37 et 333667 sont aussi exlus)
- 1/19 = [052631578947368421]. Et 052631578 + 947368421 = 999'999'999
- 19 divise 1000000001 = 1'000'000'001
- ...
- Cela fonctionne aussi avec des groupes de 999 (= 33 * 37, donc 37 est aussi exclu)
- ou simplement à 9
- 1/7 = [142857]. Et 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 = 3 * 9
- 1/13 = [076923]. Et 0 + 7 + 6 + 9 + 2 + 3 = 27 = 3 * 9
- 1/17 = [0588235294117647]. Et 0 + 5 + 8 + 8 + 2 + 3 + 5 + 2 + 9 + 4 + 1 + 1 + 7 + 6 + 4 + 7 = 72 = 8 * 9
- 1/19 = [052631578947368421]. Et 0 + 5 + 2 + 6 + 3 + 1 + 5 + 7 + 8 + 9 + 4 + 7 + 3 + 6 + 8 + 4 + 2 + 1 = 81 = 9 * 9
Tout cela se comprend mieux en se rappelant la propriété suivante :
xn - 1 = (x - 1) (x(n - 1) + x(n - 2) + ... + x + 1)
et en l'utilisant avec x = 10 ou 100 ou 1000 ou 10k avec k ≥ 1.
Cela conduit, en posant x = yk, à
yk * n - 1 = (yk - 1) (yk * (n - 1) + yk * (n - 2) + ... + yk + 1)
et en choisissant y = 10 on arrive à la notion de regroupement de k chiffres (pour k ≥ 1).
Conclusions
Une idée simple qui débouche sur un résultat simple avec des conséquences inattendues.
Le monde des entiers et des fractions est bien fascinant !
Ressources
Je dois rendre à César ce qui est à César :
L'idée du modulo de la somme des paires du développement d'une fraction provient d'un livre dont j'ai oublié le nom et que je n'avais jamais réussi à comprendre et à démontrer.