Un article de Wikipedia.

Version actuelle

But

Déterminer l'intérêt d'un crédit ainsi que la prime à rembourser mensuellement en fonction du taux d'intérêt et du nombre de mensualités pour le remboursement du crédit.

Introduction

Soit les définitions de variables suivantes :

Préliminaires

Si un montant M est placé durant une année à un taux d'intérêt annuel t, alors le montant M_annuel à la fin de l'année est :

Mannuel = M ( 1 + t )

Si le montant M est placé durant un mois à un taux d'intérêt annuel t, alors le montant M_mensuel à la fin du mois est :

Mmensuel = M ( 1 + t ) (1/12)

Et, au fil des mois, sur 12 mois, nous avons :

Mannuel = M ( 1 + t ) (1/12)( 1 + t ) (1/12) ...( 1 + t ) (1/12) = M (( 1 + t ) (1/12))12 = M ( 1 + t )

Pour simplifier la notation posons donc :

α = ( 1 + t ) (1/12)

Nous avons alors :

Mmensuel = M α
Mannuel = M α12

Prime du crédit

Pour en revenir au crédit, soit un crédit M prêté au taux d'intérêt annuel t durant m mensualités. Et soit P la prime à payer à priori inconnue.

L'idée est simple, initialement, à la mensualité k = 0, le montant du crédit est -M.

Après un mois (k = 1), le crédit initial M prêté au taux d'intérêt t est devenu -M α et nous avons remboursé le crédit en versant la prime P. Le montant du crédit devient donc -M α + P.

Au mois suivant (k = 2), le montant du crédit (-M α + P) prêté au taux d'intérêt t devient (-M α + P) α et nous avons versé la prime P. Le nouveau montant du crédit devient donc (-M α + P) α + P

En continuant ainsi :

-Mk+1 = -Mk α + P (pour k ≥ 0) avec -M0 = -M

En développant la série :

Et après m mensualités, le montant du crédit est nul et donc

-M αm + P ( α m - 1 ) / ( α - 1 ) = 0

ou

(1) P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 )

qui est le montant de la prime recherché.

Intérêt du crédit

Quel est alors l'intérêt du crédit ?

Pour rembourser le crédit M, il a fallu payer m mensualités de prime P.

L'intérêt du crédit est donc

(2) I = m P - M

ou

(2') I = m M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) - M = M [ m αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) - 1 ]

Cas particuliers

Cas particulier du taux d'intérêt nul

Pour vérification, considérons le cas du taux d'intérêt nul.

Si le taux d'intérêt est très faible, le développement de αⁿ est

αn = ( 1 + t )( n/12 ) = 1 + n t / 12 + O( t2 ) = 1 + n β t + O( t2 ) si t ≅ 0 et avec β = 1/12

Alors la prime P (1) devient

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) ≅ M ( 1 + m β t ) ( 1 + β t - 1 ) / ( 1 + m β t - 1 ) ≅ M (1 + m β t) / m ≅ M / m si t ≅ 0

Nous avons bien que la prime se résume au montant M divisé par le nombre de mensualités.

Et l'intérêt (2) est bien nul.

I = m P - M = m M / m - M = 0

Cas particulier d'une unique mensualité

Si m = 1, la prime P (1) vaut

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 ) = M α ( α - 1 ) / ( α - 1 ) = M α

et l'intérêt (2) est bien celui attendu

I = m P - M = M α - M = M ( α - 1 )

Cas particulier d'un grand nombre de mensualités à un taux non nul

Si le taux d'intérêt est non nul et le nombre de mensualités grand, alors comme

P = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 )

on a

αm / ( α m - 1 ) → 1 si m grand et t > 0

et donc

P → M ( α - 1 ) si m grand et t > 0

En d'autres termes, la prime P à rembourser tend vers l'intérêt mensuel I = M ( α - 1 ) (cas particulier d'une unique mensualité).

Signification de m grand

Mais quel est l'ordre de grandeur associé à m grand ?

Posons

αm / ( α m - 1 ) ≤ 1 + ε

pour déterminer une borne pour m grand, où ε est un nombre positif proche de zéro.

Alors

1 / ( 1 - 1 / αm ) ≤ 1 + ε
1 / ( 1 + ε ) ≤ 1 - 1 / αm
1 / αm ≤ 1 - 1 / ( 1 + ε ) = ε / ( 1 + ε )
( 1 + ε ) / ε ≤ αm
ln [ ( 1 + ε ) / ε ] ≤ m ln α
ln [ ( 1 + ε ) / ε ] / ln α ≤ m

et donc

(4) m ≥ ln [ ( 1 + ε ) / ε ] / ln α

On voit bien que plus ε et / ou le taux d'intérêt (et donc ln α) est / sont petit(s) et plus m est grand.

En utilisant

ln ( 1 + ε ) ≥ ln ( 1 ) = 0
ln α = ln ( 1 + t )1/12 = ( 1 / 12 ) ln ( 1 + t )

et en posant

ε = 1 / 10n

et donc

ln ε = - n ln ( 10 )

l'expression (4) devient

m ≥ ln [ ( 1 + ε ) / ε ] / ln α ≥ - ln ( ε ) / ln α = n ln ( 10 ) / [ ( 1 / 12 ) ln ( 1 + t ) ] = 12 ln ( 10 ) n / ln ( 1 + t )

donc

(5) m ≥ 12 ln ( 10 ) n / ln ( 1 + t )

qui est linéaire en puissance de n (donc pour ε qui s'approche de zéro) et qui est d'autant plus vraie que n augemente car ln ( 1 + ε ) ~ 0.

Cas particulier de la relation entre les primes si le nombre de mensualités double

Pour les primes

En posant dans l'équation de la prime (1)

Pm = M αm ( α - 1 ) / ( α m - 1 )

alors

P2 m / Pm = [ M α2 m ( α - 1 ) / ( α 2 m - 1 ) ] / [ M αm ( α - 1 ) / [ ( α m - 1 ) ]

soit

(6) P2 m / Pm = αm / ( α m + 1 )

Et avec α ≥ 1, comme

(7) αm / ( α m + 1 ) = 1 / ( 1 + 1 / α m )

et si x ≥ 1 alors

x ≥ 1
1 ≥ 1 / x
2 ≥ 1 + 1 / x
1 / ( 1 + 1 / x ) ≥ 1 / 2

nous avons

P2 m ≥ Pm / 2

Et aussi, comme

1 > 0

alors

α m + 1 > α m
(8) 1 > α m / ( α m + 1 )

donc

1 > P2 m / Pm

soit

Pm > P2m

En résumé

Pm > P2m ≥ Pm / 2

Pour les intérêts

Pour les intérêts avec

Im = m Pm - M

alors

I2m / Im = [ 2 m P2m - M ] / [ m Pm - M ]

et par (6)

I2m / Im = [ 2 m Pm αm / ( αm + 1 ) - M ] / [  m Pm - M ]

et par (7)

αm / ( αm + 1 ) ≥ 1 / 2
2 αm / ( αm + 1 ) ≥ 1

et donc

2 m P m αm / ( αm + 1 ) ≥ m P m
[ 2 m P m αm / ( αm + 1 ) - M ] ≥ m P m - M
[ 2 m P m αm / ( αm + 1 ) - M ] / ( m Pm - M ) ≥ 1

ainsi

I2m / Im ≥ 1

soit

I2m ≥ Im

Et avec (8)

1 > αm / ( αm + 1 )
2 > 2 αm / ( αm + 1 )
2 m Pm - M > 2 m Pm αm / ( αm + 1 ) - M
( 2 m Pm - M ) / ( m Pm - M ) > [ 2 m Pm αm / ( αm + 1 ) - M ] / ( m Pm - M )
[ 2 ( m Pm - M ) + M ] / ( m Pm - M ) > I2m / Im
2 + M / ( m Pm - M ) > I2m / Im
2 + M / Im > I2m / Im
2 Im / M + 1 > I2m / M
1 > I2m / M - 2 Im / M

soit

M + 2 Im > I2m

En résumé

M + 2 Im > I2m ≥ Im

Cas particulier de 12 mensualités

Le cas particulier m = 12 permet de réécrire (7)

αm / ( α m + 1 ) | m = 12 = α12 / ( α 12 + 1 ) = ( 1 + t ) / ( 2 + t )

par définition de α et donc

P24 =  P12 ( 1 + t ) / ( 2 + t )

Proportionnalités

Les équations de la prime P (1) et de l'intérêt I (2) et (2') montrent que les rapports P / M et I / M ne dépendent que du nombre de mensualités et du taux d'intérêt.

Cela signifie en particulier que si le montant d'un crédit double, la prime et l'intérêt doublent aussi.

Résultats

Pour prendre un cas concret, prenons le cas de la banque Migros qui propose en ligne des crédits au taux de 5.9%.

α = ( 1 + t )1/12 = 1.0047885174

Une de leurs brochures (voir les ressources) résume les primes et les intérêts des crédits en fonction du montant, du nombre de mensualités des crédits et du taux d'intérêts (5.9% et 7.9%).

Selon les calculs effectués dans le document LibreOffice Calc (voir ressources) nous obtenons :

La prime est arrondie à 5 centimes et l'intérêt est calculé selon (2) (au lieu de (2')) pour tenir compte des arrondis de la prime.

Les primes et les intérêts pour toutes les mensualités et les montants correspondent à celles indiquées dans la brochure.

Limites pour m grand

Enfin, calculons quelques limites pour m grand (4) et (5) pour un taux d'intérêt de 5.9 %

α = ( 1 + t )1/12 = 1.0047885174

Au vu du nombre d'années que cela représente, autant dire que cela n'est jamais le cas !

Conclusions

Durant la détermination de la prime, lors du développement de la série, le cas k = n avant la réduction de la série est intéressant. Il permet de constater que l'analyse du crédit peut s'effectuer aussi en considérant les intérêts cumulés de chaque montant sur la durée du crédit, depuis le dernier versement de la prime P qui n'est soumis à aucun intérêt ( soit P ), jusqu'au crédit initial -M qui est soumis à tous les intérêts ( -M α^m ).

Calculer le crédit de la manière précédente (en considérant chaque somme et en comptabilisant tous les intérêts cummulés) implique de conserver un historique complet du crédit et des sommes versées.

Cependant, la manière initiale d'analyser le crédit permet aussi de constater que la seule chose à connaître est le montant du crédit actuel, de calculer l'intérêt du crédit, de le diminuer avec la prime versée et de continuer ainsi jusqu'au remboursement complet du crédit. Cette simplicité de calcul permet d'envisager que le montant des primes pourrait tout à fait varier d'un mois à l'autre sans compliquer la gestion du crédit. Une banque qui propose des crédits peut ainsi offrir la possibilité de verser des primes supplémentaires sans que cela lui complique trop la gestion du crédit.

Une question qui reste ouverte est la granularité du calcul des intérêts par les banques. Est-ce par mois ? par jour ? ou encore plus finement ? Comme discuté précédemment, cela a un impact sur le montant des intérêts calculés.

Ressources

Document LibreOffice Calc (v. 4.3.7.2) zippé (Credit-prime-interet.ods.zip) déterminant les primes et les intérêts en fonction de montants et d'un taux d'intérêt. Il permet aussi de calculer les limites m grand en fonction d'ε et du taux d'intérêt.

Pour archivage, la brochure de la banque Migros sur les crédits privés en ligne Migros-brochure-credit-prive.pdf. Les pages 8 et 9 résument les primes et les intérêts pour divers montants de crédits, de mensualités et de taux.