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Fraction générant son développement numérique

But

Déterminer la fraction f dont le développement numérique est 0.a₁a₂...a_k-1a_ka₁a₂...a_k-1a_k... répétant le nombre n=a₁a₂...a_k-1a_k où a_i pour 1 ≤i ≤ k est un chiffre de 0 à 9.

Introduction

Notation

Pour simplifier l'écriture, la fraction f = 0.a₁a₂...a_k-1a_ka₁a₂...a_k-1a_k... pourra aussi être notée : f = [a₁...a_k] avec a_i pour 1 ≤i ≤ k un chiffre de 0 à 9.

Construction de f

La construction de f est simple, si n = a₁a₂...a_k-1a_k alors f = n * 0.00..0100..01... = n * 0.0₁0₂...0_k-11_k0₁0₂...0_k-11_k... = n*[0₁...0_k-11_k] = n * [0..01] avec [0..01] composé de k-1 premier 0 et un 1.

Ou f = n * (1/10^k+1/10^2*k+...) = n * (x+x²+x³+...) pour x = 1/10^k.

Et, comme 1/(1-x) = 1+x+x²+x³+... si |x|<1.

Alors x+x²+x³+... = x * (1+x+x²+x³+...) = x/(1-x).

Appliqué au f précédent :

avec x = 1/10^k : f = n * x/(1-x) = n * 1/(1/x-1) = n / (10^k-1).

Donc f = n / (10^k-1).

Et, pour être plus explicite, 10^k-1 = 999..99_k soit un nombre formé d'autant de 9 que de chiffres dans f = [a₁...a_k] :

f = [a1...ak] = n / (10k-1) = n / 9192..9k = a1...ak / 91...9k  avec n = a1...ak

Résultats

Ainsi, avec le résultat précédemment acquis :

f = 1/3 = 0.3333... = [3] = 3 / 9

f = 1/7 = [142857] = 142857 / 999999

f = 0.201320132013... = [2013] = 2013 / 9999

Quelques conséquences

• 0.999999... = [9] = 9 / 9 = 1 !

• Il est facile de diviser par les nombres du type 99..9 puisque le développement numérique de la fraction résultante est connu :
  • 4 / 9 = 0.44444... = [4]
  • 7 / 9 = 0.77777... = [7]
  • 43 / 99 = 0.43434343... = [43]
  • 463746178 / 999999999 = 0.463746178463746178463746178... = [463746178]
  • ...

• si f = 1/p = [a₁...a_k] avec p un nombre entier, alors p divise 9₁9₂..9_k.
  • En effet si 1/p = [a₁...a_k] alors 1/p = n/9₁9₂..9_k et donc 9₁9₂..9_k/p = n (avec n = a₁...a_k).
  • En particulier :
    • 7 divise 999'999 puisque 1/7 = [142857]
    • 13 divise 999'999 puisque 1/13 = [076923]
    • 17 divise 9'999'999'999'999'999 puisque 1/17 = [0588235294117647]

• Un corollaire du cas précédent est le cas où p est un nombre premier plus grand que 3 (car 9 = 3²) :
  • si f = 1/p = [a₁...a_k] avec p un nombre premier plus grand que 3, alors p divise 1₁1₂..1_k.
    • En effet d'après le point précédent p divise 9₁9₂..9_k = 9 * 1₁1₂..1_k et p ne divise pas 9.
    • En particulier :
      • 7 divise 111'111 puisque 1/7 = [142857]
      • 13 divise 111'111 puisque 1/13 = [076923]
      • 17 divise 1'111'111'111'111'111 puisque 1/17 = [0588235294117647]

• Un peu plus drôle :
  • Si f = 1/p = [a₁...a_k] avec k pair, alors 1/p = n/9₁9₂..9_2*m, avec k = 2 * m, et n = a₁...a_k, alors n * p = 9₁9₂..9_2*m = 99 * (01₁01₂...01_m) où le dernier nombre est formé de m répétitions du groupe 01.
  • Ainsi, si p est premier et ne divise pas 3 ou 11 (99 = 3² * 11) alors n est un modulo de 99.
    • En effet, comme n = a₁...a_k = a₁...a_2*m = a₁a₂...a_2*m-1a_2*m et que 10^2*j modulo 99 = (10²)^j modulo 99 = 1 pour j ≥ 1, alors :
    • n modulo 99 = a₁a₂ + a₃a₄ + ... + a_2*m-1...a_2*m modulo 99 = 0, autrement dit, la somme des paires du nombre n du développement numérique de la fraction 1/p est un multiple de 99.
    • Exemples :
      • 1/7 = [142857]. Et nous avons bien : 14 + 28 + 57 = 99
      • 1/13 = [076923]. Et 07 + 69 + 23 = 99
      • 1/17 = [0588235294117647]. Et 05 + 88 + 23 + 52 + 94 + 11 + 76 + 47 = 396 = 4 * 99
      • 1/19 = [052631578947368421]. Et 05 + 26 + 31 + 57 + 89 + 47 + 36 + 84 + 21 = 396 = 4 * 99

• Et un corollaire de la remarque pécédente est que : puisque p ne divise pas 99, p (caractérisé selon la remarque précédente) divise 01₁01₂...01_m où le dernier nombre est formé de m répétitions du groupe 01.
• Exemples :
  • 1/7 = [142857]. 7 divise 010101 = 10'101
  • 1/13 = [076923]. 13 divise 010101 = 10'101
  • 1/17 = [0588235294117647]. 17 divise 0101010101010101 = 101'010'101'010'101
  • 1/19 = [052631578947368421]. 19 divise 010101010101010101 = 10'101'010'101'010'101

• Il est possible d'étendre ces dernières remarques en utilisant des groupes de 9 plus importants
• Exemples :
  • Cela fonctionne aussi avec des groupes de 999 (= 3³ * 37, donc 37 est aussi exclu)
    • 1/7 = [142857]. Et nous avons bien : 142 + 857 = 999
    • 1/13 = [076923]. Et 076 + 923 = 999
    • 1/19 = [052631578947368421]. Et 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 * 999
    • 7 et 13 divisent 1001
    • 19 divise 1001001001001001 = 1'001'001'001'001'001
  • Cela fonctionne aussi avec des groupes de 9999 (= 3² * 11 * 101, donc 11 et 101 sont aussi exlus)
    • 1/17 = [0588235294117647]. Et 0588 + 2352 + 9411 + 7647 = 19998 = 2 * 9999
    • 17 divise 1000100010001 = 1'000'100'010'001
  • Cela fonctionne aussi avec des groupes de 99'999'999 (= 3² * 11 * 73 * 101 * 137, donc 11, 73, 101 et 137 sont aussi exlus)
    • 1/17 = [0588235294117647]. Et 05882352 + 94117647 = 99'999'999
    • 17 divise 100000001 = 100'000'001
  • Cela fonctionne aussi avec des groupes de 999'999'999 (= 3⁴ * 37 * 333667, donc 37 et 333667 sont aussi exlus)
    • 1/19 = [052631578947368421]. Et 052631578 + 947368421 = 999'999'999
    • 19 divise 1000000001 = 1'000'000'001
  • ...
• ou simplement à 9
  • 1/7 = [142857]. Et 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 = 3 * 9
  • 1/13 = [076923]. Et 0 + 7 + 6 + 9 + 2 + 3 = 27 = 3 * 9
  • 1/17 = [0588235294117647]. Et 0 + 5 + 8 + 8 + 2 + 3 + 5 + 2 + 9 + 4 + 1 + 1 + 7 + 6 + 4 + 7 = 72 = 8 * 9
  • 1/19 = [052631578947368421]. Et 0 + 5 + 2 + 6 + 3 + 1 + 5 + 7 + 8 + 9 + 4 + 7 + 3 + 6 + 8 + 4 + 2 + 1 = 81 = 9 * 9

Tout cela se comprend mieux en se rappelant la propriété suivante :

xn - 1 = (x - 1) (x(n - 1) + x(n - 2) + ... + x + 1)

et en l'utilisant avec x = 10 ou 100 ou 1000 ou 10^k avec k ≥ 1.

Cela conduit, en posant x = y^k, à

yk * n - 1 = (yk - 1) (yk * (n - 1) + yk * (n - 2) + ... + yk + 1)

et en choisissant y = 10 on arrive à la notion de regroupement de k chiffres (pour k ≥ 1).

Conclusions

Une idée simple qui débouche sur un résultat simple avec des conséquences inattendues.

Le monde des entiers et des fractions est bien fascinant !

Ressources

Je dois rendre à César ce qui est à César :

L'idée du modulo de la somme des paires du développement d'une fraction provient d'un livre dont j'ai oublié le nom et que je n'avais jamais réussi à comprendre et à démontrer.